Сумма обратимых в факториальном кольце

[mathematician123]

Докажите, что для любого натурального $n$ существует натуральное $m$, обладающее следующим свойством. В любом факториальном кольце $R$, имеющем с точностью до умножения на обратимый ровно $n$ неприводимых элементов, либо все элементы представимы в виде суммы не более чем $m$ обратимых, либо существуют элементы, которые нельзя представить в виде суммы обратимых.

Также можно ввести функцию $f(n)$ равную минимально возможному $m$, удовлетворяющему условию задачи. Чему равна $f(n)$? Для $n \ge 2$ я могу доказать оценку $3 \le f(n) \le 3(2^{n-1} - 1) - 2$.