Надо бы проверить, кстати, для четных периодов должна быть та же закономерность...
Так и есть. Общая закономерность: если

— длина периода разложения

и

— первое решение, то серия решений выражается формулами

где
Интересна сама структура первого решения.
Имелось в виду первое решение уравнения

Перепишем его так:

Вопрос нечетности периода разложения

равносилен вопросу разрешимости этого уравнения для фиксированного

Уже говорилось, что

сумма двух вз. простых ненулевых квадратов (зеленое число), а

— нечетное зеленое число, поскольку левая часть

не делится на

Значит

— старший элемент примитивной Пифагоровой тройки. Сделаем подстановки:

где пары

вз. просты, пара

разной четности. Тогда:

Если основание последнего квадрата равно

, получаем решение

Отображений в виде суммы двух квадратов тут может быть несколько, но нас интересует равенство с единицей, а оно выражается именно в таком виде, и вопрос четных/нечетных периодов сводится к разрешимости формы

Разложением

в непрерывную дробь получаем бесконечную серию нужных пар

, поэтому множество значений

нечетного периода можно считать функцией от множества Пифагоровых троек. Однако, взяв аргументом пару

получаем уравнение

неразрешимое в целых числах. Если же взять неизвестным параметр

, имеем уравнение

и

Уже легче:

Параметры

симметричны, один из них

и один из двух должен входить в последовательность остатков вида

, где

— подходящие дроби разложения

Тут ключ и к другому уравнению:

которое обсуждается в параллельной теме. Ну, а получив выражение

, находим

и

(подобрав нужный знак). Отсюда

и

Возьмем пример.

Из последней дроби получаем

и

Таким образом из дроби в конце первого полупериода получены решения уравнений

Осталось непонятно почему взята именно эта дробь, проверять все остатки подряд что-то скучновато. Тут гипотеза, постараюсь кратко.
Раскладывая квадратный радикал, нельзя не заметить, что с некоторого момента знаки повторяются в обратном направлении. Центр симметрии — подпоследовательность вида

(нечетный период) или

(четный период). Подходящая дробь, соответствующая первому знаку такого мини-палиндрома как раз и есть интересующая нас (интересная) дробь. Но в длинных дробях подобные мини-палиндромы могут возникать и ранее (локальная симметрия). Чтобы не перепутать: "интересная" дробь находится также в центре симметрии остатков вида

Соотв. ей остаток в четных периодах возвращает делитель или удвоенный делитель

в нечетных периодах — параметр

уравнения

Яснее выразиться не знаю как.
Что ж. В итоге всё равно нужно добраться в разложении до центра симметрии, иначе прояснить вопрос четности/нечетности периода не удается. Не знаю. Мало ли вдруг какими-то иными способами получится сделать вывод о разрешимости формы

, тогда порадуюсь. Но пока этот пудинг приходится доесть до конца (будь он параллелепипед, будь он...)