Комопозиция функций

[Gecko]

У Зорича так:

$h \circ (g \circ f)(x) = h((g \circ f)(x)) = h(g(f(x)))$

Непонятно, почему $h((g \circ f)(x))$.

Ведь сначала должна выполняться операция в скобках. Я бы записал так:

$h \circ (g \circ f)(x) = h \circ (g(f(x))) = h(g(f(x)))$

В чем подвох?

[Ende]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы)

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Ende]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: не указана.

[пианист]

Gecko в сообщении #1595055 писал(а):

$ = h \circ (g(f(x))) = $

Операция композиции $\circ$ определена для двух функций, а не для функции и числа.

[Gecko]

Что-то не пойму.

По определению $(g \circ f)(x) := g(f(x))$

Если нужно найти $h \circ (g \circ f)(x) $, сначала находим композицию f и g (см. определение).

А потом находим композицию полученного отображения и h:

$h \circ (g(f(x))) = h(g(f(x)))$

-- 24.05.2023, 13:13 --

А, понял!
Выше не определение композиции, а формула для определения значения отображения, построенного в результате композиции.

[B@R5uk]

Gecko в сообщении #1595075 писал(а):

$h \circ (g(f(x))) = h(g(f(x)))$

Правильно будет записывать так:

$$(h\circ g)(f(x))=h(g(f(x)))$$

-- 24.05.2023, 17:04 --

Gecko в сообщении #1595055 писал(а):

Ведь сначала должна выполняться операция в скобках.

Это не важно. Композиция функций (как операция над функциями) обладает ассоциативным свойством, точно так же, как сложение и умножение. Вы должны понимать, что вы сначала оперируете функциями (как объектами, абстрагированными от чисел на которых они действуют), а уже потом, когда у вас имеет конечный результат, применяете его к каким-либо числам.

Я понимаю, что это в определённом смысле запутывающая концепция. Хотя бы по той причине, что сама композиция определяется через действия функций на числа. Тем не менее, стоит вникнуть.

[Gecko]

Да, понятно. Если по определению $(u \circ w)(x) := u(w(x))$,
то при нахождении $h \circ (g \circ f)(x) $ учитываем, что сначала роль $u$ выполняет $h$, а роль $w$ - $(g \circ f)$:

$h \circ (g \circ f)(x) = h((g \circ f)(x))$

А на следующем шаге роль $u$ выполняет $g$, а роль $w$ - $f$:

$h((g \circ f)(x)) = h(g(f(x)))$

[iifat]

Gecko в сообщении #1595055 писал(а):

Ведь сначала должна выполняться операция в скобках

При чём тут вообще выполнение и его порядок? Тут происходит эквивалентное преобразование, а у него свои законы.