Логарифм матрицы

[svv]

Ищем комплексные матрицы $M$, такие, что
$e^M=A=\begin{bmatrix}\cos\varphi&-\sin\varphi\\\sin\varphi&\phantom{+}\cos\varphi\end{bmatrix}$
Обозначим $B=\begin{bmatrix}0&-1\\1&\phantom{+}0\end{bmatrix}$, тогда $A=(\cos\varphi) E+(\sin\varphi) B$

По т. Гамильтона-Кэли $M^2$ является линейной комбинацией $E$ и $M$. Значит, это же верно для $M^3,M^4,...$ и $e^M=A$:
$A=c_0E+c_1M$,
где $c_0, c_1$ — комплексные числа. Допустим, $c_1\neq 0$, тогда
$M=\alpha E+\beta B$,
где $\alpha, \beta$ — комплексные числа.

Из $\det A=e^{\operatorname{tr} M}=e^{2\alpha}=1$ находим $\alpha=i\pi k,\; k\in\mathbb Z$.
Т.к. $E$ и $B$ коммутируют,
$A=e^M=e^{\alpha E}e^{\beta B}=(-1)^k \bigl((\cos\beta)E+(\sin\beta)B\bigr)$
Отсюда
$\cos\beta=(-1)^k \cos\varphi$
$\sin\beta=(-1)^k \sin\varphi$
$\beta=\varphi+2\pi m+\pi k, \; m\in\mathbb Z$

[Padawan]

svv
Спасибо! Здорово!

[Alex Krylov]

$Invlaplace[(sI-M)^{-1}]$ и далее t=1