Сравнения с неизвестным

[Azkaban]

Всем доброго времени суток! Задача: 1) Решите сравнение $x^{101} + 111 \equiv 0 \pmod{2022}$.
2) Зная, что сравнение $x^{1001} + 111 \equiv 0 \pmod{2022}$, разрешимо, найдите число его решений.
Насчет первой части этой задачи я подумал и пришел по итогу к следующей системе сравнений:
$x^{101} \equiv 1911 \pmod{2}$,
$x^{101} \equiv 1911 \pmod{3}$,
$x^{101} \equiv 1911 \pmod{337}$.
Первые два сравнения решить легко, но вот с третьим пришлось написать программу. В итоге решением этого сравнения является $x = 111$. Главная же проблема заключается в том, как высчитать это сравнение вручную. Была дана подсказка: "воспользоваться разложением $337 = 3^4 + 4^4$". Есть у кого-нибудь идеи?

[Ende]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы)

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Ende]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: не указана.

[zykov]

Azkaban в сообщении #1594710 писал(а):

что сравнение $x^{1001} + 111 \equiv 0 \pmod{2022}$, разрешимо

Кстати, $x=1911$ подходит.

[mathematician123]

Можно так решить. $x^{101} \equiv -111 \pmod{337}$, $3x^{101} = 4 \pmod{337}$. Из $337 = 3^4 + 4^4$ следует, что $3^4 \equiv -4^4 \pmod{337}$, $3^{100} \equiv -4^{100} \pmod{337}$. Теперь умножим это сравнение на полученное ранее: $(3x)^{101} \equiv (-4)^{101} \pmod{337}$. Откуда $3x \equiv - 4 \equiv 333 \pmod{337}$. Переход от сравнения $(3x)^{101} \equiv (-4)^{101} \pmod{337}$ к сравнению $3x \equiv - 4 \pmod{337}$ нужно обосновать. Понимание, почему можно убрать 101-е степени, имеет непосредственное отношение к решению второй задачи.