Выталкивающая сила, действующая на воздушный шар

[add314]

Шарик, наполненный гелием, имеет объём $V_0$ при температуре $T_0$ на уровне моря, где атмосферное давление $p_0$ и плотность воздуха $\rho_0$. Шару дают подняться на высоту $h$, где температура воздуха $T_1$. Давление воздуха меняется по закону $p(h)=p_0\exp(-\frac{\rho_0 gh}{p_0})$.

1) Выведите выражение для объема, занимаемого шариком.
2) Докажите, что выталкивающая сила, действующая на шар не зависит от высоты $h$, учитывая, что плотность газа зависит линейно от давления, т.е. $\rho/\rho_0=p/p_0$. А давление $p_b$ внутри шара, создаваемое эластичной оболочкой, связано с наружным давлением $p$ соотношением $p_b/p=1+\beta$, где постоянная $\beta>0$.

(1)

С первым проблем вроде бы не возникло, получилось

$$V(h)=\frac{T_1}{T_0}V_0\exp\left(\frac{\rho_0gh}{p_0}\right)$$

Проблема со вторым пунктом. Пытался следующим образом: записал Архимедову силу, действую на шар, в виде $F=\rho g V=\rho g \frac{nRT}{p(1+\beta)}$ для условий на уровне моря: $\rho_0$, $g_0$, $T_0$, $p_0$ и условий на произвольной высоте $h$: $\rho$, $g$, $T$, $p$. Но это ни к чему толковому не привело.

Я как только эти формулы не крутил, так и не дошло, как явно доказать отсутствие зависимости выталкивающей силы от высоты.

[sergey zhukov]

add314
Найдите $\rho(h)$. Произведение $V(h)\rho(h)$ должно оказаться постоянным.

[EUgeneUS]

add314 в сообщении #1594476 писал(а):

записал Архимедову силу, действую на шар, в виде $F=\rho g V=\rho g \frac{nRT}{p(1+\beta)}$ для условий на уровне моря: $\rho_0$, $g_0$, $T_0$, $p_0$ и условий на произвольной высоте $h$: $\rho$, $g$, $T$, $p$. Но это ни к чему толковому не привело.

Действительно, какие-то странности с задачей.

1. Если вывести $\rho$, используя уравнение Менделеева-Клайперона, то всё складывается.

2. Если же вместо этого воспользоваться вот этой "подсказкой":

add314 в сообщении #1594476 писал(а):

т.е. $\rho/\rho_0=p/p_0$

то от отношения температур в выражении для $F_1/F_0$ избавиться не удаётся.

[sergey zhukov]

По моему, исходная формула зависимости давления от высоты - для изотермической атмосферы. Т.е. $T=const$.

[Null]

Масса газа в шаре постоянна.

[add314]

sergey zhukov в сообщении #1594507 писал(а):

Найдите $\rho(h)$. Произведение $V(h)\rho(h)$ должно оказаться постоянным.

Да, действительно. $\rho (h)=\frac{M}{RT}p_0\exp(-\frac{\rho_0gh}{p_0})$. Тогда, $\rho(h)V(h)=\frac{Mp_0V_0}{RT_0}=\operatorname{const}$. Но тогда же для Архимедовой силы в любом случае $F=\frac{Mp_0V_0}{RT_0}g(h)$, где ускорение свободного падения функция высоты.

sergey zhukov в сообщении #1594518 писал(а):

По моему, исходная формула зависимости давления от высоты - для изотермической атмосферы. Т.е. $T=const$.

Интересно, а почему тогда даётся два значения температуры $T_0$ и $T_1$?

[sergey zhukov]

add314
В данном случае $g=\operatorname{const}$ конечно.

Если считать что фраза "плотность газа линейно зависит от давления" значит "плотность атмосферы на определенной высоте прямо пропорциональна давлению на этой высоте", то это прямое указание на изотермичность атмосферы. Я это так понял.

Зачем две температуры? Не знаю. Может быть, изначально температура гелия $T_0$ в шарике не равна температуре атмосферы?

[add314]

sergey zhukov
Ясно, спасибо большое!

[EUgeneUS]

sergey zhukov в сообщении #1594518 писал(а):

По моему, исходная формула зависимости давления от высоты - для изотермической атмосферы. Т.е. $T=const$.

Более того,
а) если вывести плотность газа из уравнения Менделеева-Клайперона, вот так:

$\rho = \frac{m}{V} = \mu \nu \frac{p}{\nu RT} = \frac{\mu p}{RT}$ (1)

б) и наложить условие:

add314 в сообщении #1594476 писал(а):

т.е. $\rho/\rho_0=p/p_0$.

То получим $T = \operatorname{const}$

-- 21.05.2023, 07:46 --

Однако, странности остаются.
Если подставить выражение (1) для плотности воздуха в выражение для выталкивающей силы:

add314 в сообщении #1594476 писал(а):

в виде $F=\rho g V=\rho g \frac{nRT}{p(1+\beta)}$

То получим:
$F = \frac{\mu \nu g}{1+\beta}$

То есть изотермичность атмосферы (и следствие из него) - лишнее условие (в предположении $g = \operatorname{const}$).
Постоянство выталкивающей силы обеспечивается линейной зависимостью между давлением внутри шара и снаружи, то есть свойствами оболочки и только.

[miflin]

(Оффтоп)

Клапейрона

[sergey zhukov]

EUgeneUS
Да, сила Архимеда для такой оболочки не зависит от профиля температуры или давления по высоте. Особенно это очевидно для сверхрастяжимой оболочки, для которой $p_b=p$, т.е. фактически для случая отсутствия оболочки. Примерно похоже на мыльный пузырь.

Внутри реальных оболочек давление зависит от наружного давления нелинейно: в конце концов можно сказать, что при подьеме в атмосфере любые оболочки перестают растягиваться, давление внутри перестает падать, а их объем - перестает увеличиваться. Тогда подьем шарика прекращается.

Т.е. мыльный пузырь, надутый гелием, будет подниматься в любой атмосфере при постоянной силе Архимеда. А резиновый шарик - нет.

[tehnolog]

Вообще-то сила Архимеда определяется как $F_A=\Delta \rho g V$ Я не увидел в задаче, чтоб где-то был учет разницы плотностей гелия и воздуха..

[add314]

tehnolog, я всегда думал, что модуль силы Архимеда, действующей на тело, равен весу газа в объеме этого тела. Откуда берётся разность плотностей? Для наполненного гелием шарика что-то по-другому?

-- 28.06.2023, 13:47 --

tehnolog в сообщении #1599249 писал(а):

$F_A=\Delta \rho g V$

Это же будет просто равнодействующая выталкивающей силы и силы тяжести? Но в этой задаче, вроде бы как, не играет роли рассматривать равнодействующую сил или выталкивающую силу. Масса шарика с гелием постоянна.

[tehnolog]

Да, загуглил. Приношу извинения - возникла путаница в терминологии. Всегда считал, что сила Архимеда это уже результирующая сила, действующая на предмет в среде, в поле сил тяжести.

tehnolog в сообщении #1599249 писал(а):

$F_A=\Delta \rho g V$

Данная формула определяет результирующую подъёмную силу.

[add314]

tehnolog в сообщении #1599265 писал(а):

именно она здесь и важна

Здесь сила тяжести, действующая на шар, постоянна. По-моему, проще рассматривать просто выталкивающую силу, хотя особой роли это не играет.

-- 28.06.2023, 14:54 --

add314 в сообщении #1594476 писал(а):

2) Докажите, что выталкивающая сила, действующая на шар не зависит от высоты $h$

Тем более, что в условии задачи речь идёт именно про выталкивающую силу, а не результирующую подъёмную.