Диск |z|<=1 - это компактное комплексное многообразие?

[Kuga]

Начал чтение параграфа 4 из второй части книги Дубровина, Новикова, Фоменко, и застрял на некоторых, кажется терминологических трудностях.

Там сначала дается определение комплексного многообразия, и затем приводится следующая теорема:

Цитата:

Голоморфная функция на связном компактном комплексном многообразии постоянна.

Теоремы Лиувилля и принципа максимума модуля из ТФКП мне знакомы. Но их обобщения в книге ДНФ на комплексные многообразия не понятно.

Из определения данного в книге непонятно следующее:

Является ли диск $\{z\in \mathbb{C}: |z|\leq 1\}$ компактным комплексным многообразием?

Если бы $\{z\in \mathbb{C}: |z|\leq 1\}$ было компактным комплексным многообразием, то применяя к нему теорему, сформулированную выше получается, что всякая голоморфная в круге функция постоянна, но это не так. Поэтому $\{z\in \mathbb{C}: |z|\leq 1\}$ не является компактным комплексным многообразием, так?

Или, как мне кажется, они имеют ввиду компактные комплексные многообразия без края, это так? Но вроде бы нигде в этом параграфе про край многообразия ничего не было сказано.

[mihaild]

Нет, не является. Там следствие 1: комплексно аналитическое подмногообразие с $\mathbb C^n$ размерности больше нуля некомпактно.
Многообразие по умолчанию без края, и у каждой точки есть окрестность, гомеоморфная открытому подмножеству $\mathbb C^n$. У точек на границе замкнутого единичного диска таких окрестностей нет.

В вещественном случае есть, например, единичная окружность или сфера - компактные многообразия. В комплексном такого не бывает.

[Kuga]

Цитата:

Многообразие по умолчанию без края

ну тогда все понятно