Будет ли последовательность марковской цепью?

[vilgeforc5]

Привет всем , вопрос по цепям Маркова
Пусть $\eta$ - марковская цепь с множеством состояний $\left \{ 1,2,3 \right \} $ и матрицей переходных вероятностей $\begin{bmatrix} 0 & 1-a & a\\ 1-b & 0 & b\\ \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \end{bmatrix}$


Определим последовательность $\xi_n, n \geq 0$ так: $\xi_n=\left\{\begin{matrix} 1 , \eta_n = 1,\eta_n =2 \\2 , \eta_n = 3 \end{matrix}\right. $
При каком условии $\xi_n$ также будет марковской цепью?

Вот что я хотел сделать:
1) Сформулировать марковское свойство для первой последовательность, а потом использовать его для упрощения аналогичного для второй последовательности. НО я не знаю что делать когда, например, $\xi_n=1$ , так как в этом случае $\eta_n$ может быть равно 1 или 2, как это записать формулой ( пробовал через сумму вероятностей, тк это независимые события, но ничего конкретного не получалось)
2) Построить диаграмму переходов , но в таком случае у меня получалось, что сумма элементов строк матрицы переходов $\xi$ не равняется 1 ( параметры сокращаются ).
Как лучше подступить?

[мат-ламер]

vilgeforc5 в сообщении #1593900 писал(а):

НО я не знаю что делать когда, например, $\xi_n=1$ , так как в этом случае $\eta_n$ может быть равно 1 или 2,

Однако, в каких-то случаях (при определённых соотношениях между $a$ и $b$ ) $\xi_{n+1}$ от этого не зависит. И эта последовательность будет марковской. А в каких-то случаях будет зависеть.

[Alex Krylov]

Напр. при $a=b$

Исходя из $\exists p_{11},p_{22}$, не зависящих от $p_1,p_2,p_3$:

$\begin{bmatrix}(1-a)p_1+(1-b)p_2+\frac{2}{3}p_3\\ a p_1+b p_2+\frac{1}{3}p_3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}p_{11}&1-p_{11}\\ 1-p_{22}&p_{22}\\ \end{bmatrix}^T \begin{bmatrix}p_1+p_2\\ p_3 \end{bmatrix}$

Причем, получается, что:
$p_{11}=1-a,p_{22}=\frac{1}{3}$