Алгоритм всех Пифагоровых последовательностей

[Alek]

x^2 + y^2 = z^2

Для нечётных икс, $k$ нечётный. Для чётных икс, $k$ чётный:

y^2 = (x^2 \divk - k) \div2
z^2 = ( x^2 \div k - k) \div 2 + k

Алгоритм для троек: задать любой икс, вычислить игрек и зет.

Алгоритм для последовательностей длиннее троек: задать икс, и вычислить игрек.
Вычисленная сумма в общий результат не входит, в последовательность НЕ рисуем, из неё вычисляем следующее слагаемое.
И так далее, то есть – считать как тройки. Из крайней тройки, результат уже пишем, после знака «равно».

Алгоритм для последовательностей, где первое слагаемое, вместо икса в квадрате – сумма последовательных натуральных квадратов, вида:
1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + .... + n^2

Такая сумма квадратов – сама не является квадратом, и формально – не Пифагорово число.
Но поскольку подчиняется тому же* алгоритму, то в формулах меняем икс в квадрате, на символ $S$:

y^2 = (S \div k - k) \div 2
z^2 = (S \div k - k) \div 2 + k

Далее, вычисления по алгоритму, что и для троек. Разумеется, посчитав вначале $S$.

[Ende]

Alek
Даже отдельные обозначения должны быть оформлены как формулы. Не "k чётное", а "$k$ чётное". В этот раз в карантин не понесу, в следующий - обязательно.

[Alek]

Ende в сообщении #1591402 писал(а):

Alek
Даже отдельные обозначения должны быть оформлены как формулы. Не "k чётное", а "$k$ чётное".

Я и хотел исправить, не только k но ещё и S, но когда хватился, возможность редакции уже исчезла.

[Ende]

Alek
Поправил. И опечатки заодно.
Отмечу еще, что формулы нужно окружать знаками доллара: $. Тег работает и без них, но, например, при цитировании Ваша формула отобразится так:

Alek в сообщении #1591364 писал(а):

x^2 + y^2 = z^2

Если бы формула была окружена знаками доллара, она отобразилась бы правильно:

Alek в сообщении #1591364 писал(а):

$x^2 + y^2 = z^2$

[Alek]

Ende в сообщении #1591409 писал(а):

Alek
формулы нужно окружать знаками доллара: $.

Понял, благодарю.

[Alek]

Дополнено.

Для любого значения икс, есть минимум одна последовательность.

При подборе коэффициентов: если вычисленный игрек даёт не натуральное число, то считать зет уже не нужно, поскольку именно этой последовательности – не существует, значит надо подставлять следующий за ним коэффициент.

[Alek]

Приношу извинения за грубые опечатки. Запарился, со мной бывает))
В начале всех формул, перед знаком «равно» – игрек и зет – БЕЗ степени:

$y=(x^2:k-k):2$
$z=(x^2:k-k):2+k$

$y=(S:k-k):2$
$z=(S:k-k):2+k$

[Alek]

Дополнение 2

При вычислении последовательностей длиннее тройки, надо применять цепочку коэффициентов и к дополнительным суммам, из которых считаются последующие слагаемые, чтобы не потерять наборы.
Вследствие выполнения такого ветвящегося алгоритма, получается весь сет.
Например, для х = 12, всего для двух из четырёх штук коэффициентов для 144, (2, 4), уже выходит 11 Пифагоровых пятёрок.

[MGM]

Я так понимаю, что знак модуля(программ-стайл) был заменен на $:$?

[Alek]

Вы про двоеточие/деление в формуле?
Нет, ничего такого не менял. Модуля в формуле не было

[Alek]

Темы объединены. // maxal

Учитывая разнообразие многочисленных алгоритмов для вычисления Пифагоровых последовательностей, когда для разных n-наборов используются различные алгоритмы и формулы, то предполагаю – что есть смысл в использовании единого алгоритма и одних и тех же формул для всех возможных вариантов.

1) Если рассматривать квадраты чисел не в качестве соотношений катетов с гипотенузой, а как площади квадратов, составленных из единичных квадратов со стороной $1$, можно использовать удобный, единый алгоритм формирования уравнений, для Пифагоровых последовательностей.

2) Смысл метода в том, что любой квадрат, надстраивается единичными квадратами, минимально возможным способом:
к одной стороне надстраиваемого квадрата, присоединяется точно такая же, $y$.
И к прилежащей стороне, присоединяется такая же: $y + y = 2у$

3) Остаётся заполнить одним единичным квадратом вершину, между присоединёнными элементами:
$2y + 1$, это величина надстройки.

4) Учитывая, что вся надстройка, это весь квадрат-"надстройщик", $x^2$, то
$x^2 = 2y + 1$ => $у = (x^2 - 1): 2$.

5) Таким образом, минимально возможная надстройка, графически – в виде прямого угла из единичных квадратов.
Значит – сторона надстраиваемого квадрата, увеличится на единицу.

6) В силу правил арифметики, количество единичных квадратов в надстройке, всегда нечётное.
То есть: $x^2$ нечётное число, соответственно ′$x$′– нечётное число.

7) Необходимо разделить $x^2$ так, чтобы получились три части – это будут две стороны надстраиваемого квадрата, и плюс один единичный угловой квадрат , вершина надстройки, соединяющий две стороны.

8) Сторона первого квадрата – х; второго квадрата $y = (x^2 - 1): 2$; соответственно сторона результата
$z = (x^2 - 1): 2 + 1$.

9) Эти формулы, относительно только одной надстройки, когда $x^2$ – минимальная, единственная – и значит нечётная надстройка.

10) Пример:
возьмём любое натуральное нечётное число х, от трёх и выше. Возведём в квадрат: $3^2=9$, это площадь первого квадрата, она же, величина надстройки для второго квадрата.

11) Вычислим сторону другого квадрата, для этого– вычтем из $x^2$ единицу («угловой» квадрат),
$9-1=8$, получив удвоенную искомую сторону*; поэтому, разделим результат на два $8:2=4$.
Готовы две стороны, $3$ и $4$.


12) Поскольку известно, что одна надстройка, увеличивает сторону квадрата ровно на единицу, то =>
воспользуемся формулой $y = (x^2 - 1): 2$, из которой следует формула:

$z = y+1=(x^2 - 1): 2 + 1$;
$z = (9 - 1) : 2 + 1 = 5$.

13) [Или суммировать квадраты, и затем извлечь корень, кому так удобней].
Пифагорова тройка: $3, 4, 5$.

14) Если же необходимо увеличить сторону надстраиваемого квадрата не на единицу, а сразу на две, то нужны две подряд надстройки.
Одна надстройка нечётная, значит две надстройки – чётное число.

15) Поэтому икс, основание и сторона первого квадрата, тоже чётное число, как и квадрат – тоже чётный.
Следующая надстройка, всегда больше предыдущей на два: так как её сторона больше на единицу и плюс «свой» угол.

16) Значит надо взять любое чётное натуральное число икс, от четырёх и больше, (основание и сторону первого квадрата), возвести в квадрат, и разделить его на два, ибо надстроек две =>

$x^2 : 2$.

17) Надстройки отличаются на два, значит от результата надо вычесть единицу [которую можно прибавить ко второй половине, если это зачем-то понадобится, тогда ученикам будет видно,что разница станет ровно два] =>

$x^2 : 2 - 1$.
Это величина первой, меньшей надстройки.

$x^2:2+1$, величина второй, большей надстройки).

18) Итак: получив формулу меньшей надстройки, нужно вычесть из неё угловой квадрат, получив удвоенную сторону игрек.

$(x^2 : 2 - 1) - 1 = x^2 : 2 - 2$;

$2y = x^2 : 2 - 2$, удвоенная сторона надстраиваемого квадрата.

19) Разделив на два, получим сторону:
$y = (x^2 : 2 - 2) : 2$.

20) Поскольку надстроек было две, значит сторона игрек, до стороны зет, увеличена ровно на две единицы:

$z = y + 2 = (x^2 : 2 - 2) : 2 + 2$.

21) Три примера:
$x=4; 4^2=16; 16:2=8; 8-2=6; 6:2=3; 3+2=5 $ Пифагорова тройка $4, 3, 5.$
$x=6; 6^2=36; 36:2=18; 18-2=16; 16:2=8; 8+2=10 $ Пифагорова тройка $6, 8, 10$.
$x=8; 8^2=64; 64:2=32; 32-2=30; 30:2=15; 15+2=17$ Пифагорова тройка $8, 15, 17$.

22) В силу правил арифметики, равенства сторон квадрата, все вышеуказанные соотношения, жёстко детерминированы.


Поэтому из формул и примеров следует, что число надстроек, равно:

-- числу, вычитаемому из части квадрата-"надстройщика",
-- разности между настройками,
-- количеству всех вершин – «угловых», единичных квадратов надстроек,
-- каждому делителю квадрата стороны, [квадрата-донора] т. е. $c^2$
-- числу единичных квадратов (единиц), на которые увеличена сторона игрек, до стороны зет.

23) Тогда рассмотренный в п.22 универсальный коэффициент, обозначим символом $k$.
Исходя из вышеизложенного, можно составить общие формулы.

24) Для нечётных икс, $k$ – нечётное число. Для чётных икс, $k$ – чётное число:

$y = (x^2 : k - k) : 2$;

$z = y + k$

Алгоритм и его формульные выражения, так же позволяют считать любые «около-Пифагоровые» последовательности, где в качестве переменных, могут быть произвольные положительные числа, выражения, влекущие такие результаты, подставляемые вместо $x^2$, например сумма квадратов, вида $1^2+2^2 ... n^2$, и любые прочие, в том числе – полжительные константы.

Геометрически, кроме ряда возрастающих по величине квадратов, любая Пифагорова последовательность выражается традиционно: это совокупность взаимосвязанных прямоугольных треугольников, где гипотенуза предыдущего, служит первым катетом последующего треугольника.