Найти центр масс. Как сделать решение проще?

[WinterPrimat]

Однородная круглая пластинка радиусом $r=9\mbox{см}$. В ней вырезали круг, радиус которого в два раза меньше так, что он касается первого круга (имеется в виду, что окружность пластинки и вырезанная образуют внутреннее касание). Найти центр масс получившейся пластинки.

Я нашел центр масс цельной пластинки, а вырезанную часть представил как круг отрицательной массы.
Получил систему двух точек, масса которых кратна $81$ и $-20.25$ (по формуле площади круга, масса будет прямо пропорциональна квадрату радиуса), находящиеся на расстоянии $4.5\mbox{см}$ от центра пластинки.
Нашел центр масс даной системы на расстоянии $1.5\mbox{см}$ от центра пластинки, на одной прямой с центром вырезанного круга.
Ответ правильный. Но предполагается, что задача сия школьного уровня.
Должен быть способ доступнее, а с центром масс я, увы, знаком, скорее, чисто ознакомительно.
Спасибо.

[Sender]

Да и изложенное решение школьного уровня, куда уж проще.

[sergey zhukov]

WinterPrimat
Так эта задача и решается. Нужно мысленно вставить обратно малый вырезанный круг и представить положение ЦТ большого целого круга, как средневзвешенное из ЦТ малого круга и ЦТ большого круга с вырезом. Тут и получится ваш круг с отрицательной массой.

Решение основано на том, что координаты ЦТ системы тел равны средневзвешенному координат ЦТ составляющих ее тел (в качестве весовых коэффициентов используются массы). Это все, что нужно знать про ЦТ, чтобы решить эту задачу.

Проще ее уже не решить. Простота этой задачи основана на том, что из трех рассматриваемых тут фигур две имеют очевидное положение ЦТ, и только одна из них - сложная. Если бы вместо большого круга была бы дана, скажем, кардиоида, то такой простой подход не сработал бы.

[WinterPrimat]

sergey zhukov
Спасибо. А есть что-то полезное почитать про ЦМ?

[sergey zhukov]

WinterPrimat
Да, кстати, правильнее будет говорить про центр масс, а не центр тяжести. Это я не совсем верно написал.

ЦМ - понятие довольно простое. Обычный запрос вроде "Центр масс, лекция" дает всю нужную информацию. Но вот в данном случае лучше искать именно "Центр тяжести, лекция", т.к. центр масс - это в основном относится к динамике и системе нежестко связанных тел, а центр тяжести - это твердые тела и статика. Т.е. ближе к исходной задаче.

[miflin]

WinterPrimat в сообщении #1593448 писал(а):

школьного уровня.

Я для школьников предложил бы такое решение.
Разбив круг на две произвольные фигуры, можно сказать, что они уравновешивают друг друга
относительно центра круга.
Составляем уравнение моментов и находим расстояние $x$ от центра круга
до ц.т. оставшейся части круга:

$\dfrac{3}{4}mgx=\dfrac{1}{4}mg\dfrac{r}{2}$
$x=\dfrac{r}{6}$

[sergey zhukov]

miflin в сообщении #1593475 писал(а):

Разбив круг на две произвольные фигуры

Ну, не так уж чтобы произвольные. Т.е. уравновешивают-то они друг-друга в любом случае, конечно, но если эти фигуры будут такими, что положение центра масс обоих неочевидно, то ничего не выйдет. Скажем, можно разбить круг на два полукруга. При этом найти центр масс полукруга таким приемом не удается.

[miflin]

sergey zhukov
Я сформулировал один из методов решения, а чтобы применить его в конкретной задаче,
надо, само собой, знать ц.т. и площадь одной из фигур - это "по умолчанию".

[WinterPrimat]

miflin
Спасибо. Интуитивно кажется, что предложенное решение - как раз то, что я искал.

[miflin]

(Оффтоп)

С некоторым запозданием. Поболтать захотелось...
Навеяно воспоминанием о лабораторной работе, которую мы выполняли на уроке физики
более полувека назад: "Определение центра тяжести треугольника".
В картонном треугольнике проводили медианы и ставили его точкой пересечения медиан
на острие карандаша. Если всё было сделано аккуратно, треугольник не опрокидывался.

WinterPrimat в сообщении #1593539 писал(а):

Интуитивно кажется,

Для укрепления интуиции.
Представьте мысленно круг, опирающийся центром на острие гвоздя или карандаша
(выбор за вами ). Он не опрокидывается. Это состояние равновесия можно представить,
в частности, как равновесие двух произвольных фигур, на которые мы делим круг.
Об этом уже говорилось ранее.
Если цт1 отбрасываемой части совпадает с центром круга (цк), то тут говорить не о чем -
цт2 оставшейся части также совпадает с центром круга.
В остальных случаях цт1 и цт2 лежат по разные стороны от центра круга на одном диаметре.
Расстояния цт1-цк и цт2-цк - плечи при составлении уравнения моментов.
Может кто-то предложит проще...

[sergey zhukov]

miflin
А мне кажется, что подход WinterPrimat с отрицательной массой вообще самый общий. Мне он нравится больше всего.

[miflin]

sergey zhukov
Здесь дело не в том, кому что нравится, и что универсальнее, а в том, что автору темы собственное
решение показалось не самым простым и он так и тему сформулировал: "... Как сделать решение проще?"

Я предложил более простое, на мой взгляд, и ТС заподозрил

WinterPrimat в сообщении #1593539 писал(а):

Интуитивно кажется, что предложенное решение - как раз то, что я искал.

Вот и всё...

[zykov]

sergey zhukov в сообщении #1593793 писал(а):

подход WinterPrimat с отрицательной массой вообще самый общий

Нет, это "хак", который надо обосновать (что впрочем легко сделать, но похоже именно этот момент вызвал дискомфорт у ТС).
Общий подход - составить и решить уравнение.
Полный круг состоит из малого курга и детали с вырезом. Центры масс (и сами массы) известны для полного круга и для малого круга.
С другой стороны центр масс полного круга выражается как средневзвешенное через центры масс и сами массы составных частей.
Отсюда получаем уравнение для центра масс детали с вырезом.
Из решения этого уравнения и возникает формула в которой как бы "отрицательная" масса.

[sergey zhukov]

zykov
Конечно. Я тут хотел сказать, что этот подход похож на электроны и дырки полупроводников. Все, что можно сказать об электронах, можно сказать и о дырках, если просто считать их частицами с противоположным зарядом. Мощное обобщение. Очень удобно и интуитивно понятно.