Сложности с вероятностной моделью

[ipgmvq]

ipgmvq в сообщении #1593039 писал(а):

Соответственно количество смываний за один этап будет описываться распределением Пуассона с той же $ \lambda $. А распределение количества смываний за все $m$ этапов, которое является параметром $n$ в распределении Ирвина–Холла выше, будет описываться распределением Пуассона с $ \lambda = -\frac{ m \ln(1-p) }{ t_1 } $.
Поскольку эта случайная величина $n$ независима от $t_2$, матожидание длительности прохождения всех этапов будет равно:
$m t_1 - \frac{ m t \ln(1-p) }{ 2 t_1 } = m (t_1 - \frac{ t \ln(1-p) }{ 2 t_1 }) $

У меня выше ошибка. Забыл домножить на $t_1$. Должно быть:

Соответственно количество смываний за один этап будет описываться распределением Пуассона с $ \lambda = -\frac{ t_1 \ln(1-p) }{ t_1 } = - \ln(1-p) $. А распределение количества смываний за все $m$ этапов, которое является параметром $n$ в распределении Ирвина–Холла выше, будет описываться распределением Пуассона с $ \lambda = - m \ln(1-p) $.
Поскольку эта случайная величина $n$ независима от $t_2$, матожидание длительности прохождения всех этапов будет равно:
$m t_1 - \frac{ m t \ln(1-p) }{ 2 } = m (t_1 - \frac{ t \ln(1-p) }{ 2 }) $

[ipgmvq]

Sdy в сообщении #1593166 писал(а):

за отведённое время

Исходя из моего понимания задачи выше, такая постановка вопроса усложняет задачу, потому что $n$ и $t_2$ становятся зависимыми.

Sdy в сообщении #1592499 писал(а):

наиболее вероятно пройдёт за какое-то фиксированное количество времени $T$.

Если Вас устроит наибольшее правдоподобие, то если
$f(n, x) = \begin{cases} \frac{(\lambda(T - x))^n e^{-\lambda (T - x)}}{n! (n-1)! } \sum\limits_{k=0}^{ \left\lfloor \frac{x}{t} \right\rfloor } (-1)^k C_{n}^k (\frac{x}{t} - k)^{n-1},&\text{если $0 \leqslant x \leqslant T$ и $ n \in \mathbb{N}$}\\ 0 ,&\text{иначе} \end{cases}$
(произведение функции (массы) вероятности распределения Пуассона и плотности вероятности распределения Ирвина–Холла),
то нужно найти решение для
$\mathop{\arg \max}\limits_{ x \in \left[ 0,\ T \right], n \in \mathbb{N} } f(n, x)$
И после получения оптимальных $x^{*}$ и $n^{*}$, ответом будет соответственно $\left\lfloor \frac{x^{*}}{t_1} \right\rfloor$.

[zykov]

Насчет постановки задачи - это ТС должен разъяснить.

Как я вижу, раз речь идёт о компьютерной игре, то задача должна быть дискретной, а не непрерывной.
Раз задана только вероятность $p$, но не задано количество кувшинок на уровень, то логично считать, что смыть может только один раз за уровень.
Тогда время прохождения одного уровня будет $t_1$ с вероятностью $1-p$ или равномерное распределение от $t_1$ до $t_1+t$ с вероятностью $p$.

[ipgmvq]

ipgmvq в сообщении #1593198 писал(а):

И после получения оптимальных $x^{*}$ и $n^{*}$, ответом будет соответственно $\left\lfloor \frac{x^{*}}{t_1} \right\rfloor$.

В конце не то написал. Имел в виду вот что: И после получения оптимальных $x^{*}$ и $n^{*}$, ответом будет соответственно $\left\lfloor \frac{T - x^{*}}{t_1} \right\rfloor$ .

И ещё эта целевая функция очевидно сойдет только для случая $t < t_1$. Иначе, сдается мне, нужно решать через Монте Карло, оценивая матожидание.

zykov в сообщении #1593200 писал(а):

Насчет постановки задачи - это ТС должен разъяснить.

Согласен. И вряд ли такое задают на собеседованиях.

-- 09.05.2023, 22:42 --

zykov в сообщении #1593200 писал(а):

Тогда время прохождения одного уровня будет $t_1$ с вероятностью $1-p$ или равномерное распределение от $t_1$ до $t_1+t$ с вероятностью $p$.

Тогда вероятно целевая функция должна быть:
$f(n, x) = \begin{cases} \frac{(1 - p)^{\left\lfloor \frac{T - n t_1 - x}{t_1} \right\rfloor } p^n}{ (n-1)! } \sum\limits_{k=0}^{ \left\lfloor \frac{x}{t} \right\rfloor } (-1)^k C_{n}^k (\frac{x}{t} - k)^{n-1},&\text{если $0 \leqslant x \leqslant T - n t_1 $ и $ n \in \mathbb{N}$}\\ 0 ,&\text{иначе} \end{cases}$
И надо ещё органичение придумать. $\left\lfloor \frac{T - n t_1 - x}{t_1} \right\rfloor \geqslant 0$ или что-то типа этого.
Сдеается мне, что это не проще.