Полнота ЛВП сохраняется при переходе к сильной топологии?

[Ludi]

Дано ЛВП $X$, на нем заданы топологии $\tau_1$ и $\tau_2$, $\tau_2$ сильнее, чем $\tau_1$. $X$ полно в $\tau_1$.

Полно ли $X$ в $\tau_1$?

Я рассмотрел случайную направленность Коши ${x_a}$ (a - упорядоченное множество) в топологии $\tau_1$ и потому, что все открытые множества в $\tau_1$ открыты в $\tau_2$, ${x_a}$ также является направленностью Коши в $\tau_2$. Я предположил, что если ${x_a}$ сходится к элементу из $X$ в $\tau_1$,

... то ${x_a}$ сходится к тому же элементу в $\tau_2$?

Мне кажется, это не всегда верно. Не могли бы вы мне подсказать контрпример при его наличии?

[Ende]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы)

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Ende]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: не указана.

[пианист]

Ludi в сообщении #1591342 писал(а):

$X$ полно в $\tau_1$.

Ludi в сообщении #1591342 писал(а):

Полно ли $X$ в $\tau_1$?

Уточните плз условие задачи.

[Ludi]

пианист в сообщении #1591372 писал(а):

Ludi в сообщении #1591342 писал(а):

$X$ полно в $\tau_1$.

Ludi в сообщении #1591342 писал(а):

Полно ли $X$ в $\tau_1$?

Уточните плз условие задачи.

вопрос про т2, это была опечатка

[пианист]

Я, наверное, чего-то недопонимаю, но что мешает в качестве $\tau_2$ взять дискретную топологию?

[Ludi]

пианист в сообщении #1591384 писал(а):

Я, наверное, чего-то недопонимаю, но что мешает в качестве $\tau_2$ взять дискретную топологию?

так речь же идет не про сильнейшую топологию, а просто про более сильную) и у вас не контрпример, ведь любое пространство будет полно в дискретной топологии...

-- 05.05.2023, 13:54 --

и я кста думал брать в качестве т1 -- антидискретную топологию, но это чересчур тривиально получается.

[пианист]

Оперативненько Вы это ;) я уж забыл, про что там речь..
В дискретной топологии сходится весьма узкий класс последовательностей, так что если в Вашем ЛВП с фундаментальными последовательностями ситуация получше, то оно не полно (в этой дискретной).
Что-то такое. Но не факт, что я понял, что, собс-но, было надо.