Общая теория символьных вычислений с суммами и произведениям

[Padawan]

Правила:
1) Смена индекса

$$\sum\limits_{i\in M} a_i=\sum\limits_{j\in M} a_j$$

Аналогичное правило для произведения.
2) Перестановка слагаемых

$$ \sum\limits_{i\in M} a_i=\sum\limits_{i\in M} a_\sigma(i), $$

где $\sigma$ -- любая биекция из $M$ в $M$. Аналогичное правило для произведения.
3) Группировка слагаемых

$$ \sum\limits_{k\in\sqcup\limits_{p\in M}N_p} a_k=\sum_{p\in M}\sum\limits_{k\in N_p} a_k$ $$

Аналогично для произведения.
4) Смена порядка суммирования, случай независимых индексов

$$ \sum\limits_{p\in M}\sum\limits_{k\in N} a_{pk}=\sum\limits_{k\in N}\sum\limits_{p\in M} a_{pk}=\sum\limits_{(p,k)\in M\times N} a_{pk}=\sum\limits_{(k,p)\in N\times M} a_{pk} $$

Аналогично для произведения.
5) Смена порядка суммирования, общий случай (правила 3 и 4 -- частные случаи этого правила)

$$ \sum\limits_{p\in M}\sum\limits_{k\in N_p} a_{pk}=\sum\limits_{k\in\bigcup_{p\in M} N_p}\sum\limits_{p\in M: N_p\ni k} a_{pk} $$

Аналогично для произведения.
Пример: $\sum\limits_{p=1}^N\sum\limits_{k=1}^p a_{pk}=\sum\limits_{k=1}^N\sum\limits_{p=k}^N a_{pk}$
6)Раскрытие скобок по дистрибутивности

$$ \prod\limits_{p\in M}\sum\limits_{k\in N_p} a_{pk}=\sum\limits_{\tau\in \prod_{p\in M} N_p}\prod_{p\in M} a_{p\tau(p)} $$

-- Вт мар 28, 2023 09:48:44 --

$C=AB$, $c_{ij}=\sum\limits_{k=1}^n a_{ik}b_{kj}$, $\det A=\sum\limits_{\tau\in S_n}\operatorname {sgn}\tau \prod\limits_{p=1}^n a_{p\tau(p)}$, $\det B=\sum\limits_{\sigma\in S_n}\operatorname {sgn}\prod\limits_{p=1}^n b_{p\sigma(p)}$.

$$ \det C=\sum\limits_{\sigma\in S_n} \operatorname {sgn}\sigma \prod_{p=1}^n c_{p\sigma(p)}=\sum\limits_{\sigma\in S_n}\operatorname {sgn}\sigma \prod_{p=1}^n\sum\limits_{k=1}^n a_{pk}b_{k\sigma(p)}= $$

$$ =\sum\limits_{\sigma\in S_n}\operatorname {sgn}\sigma\sum\limits_{\tau\in M_n} \prod_{p=1}^n a_{p\tau(p)}b_{\tau(p)\sigma(p)}=\sum\limits_{\tau\in M_n}\sum\limits_{\sigma\in S_n}\operatorname {sgn}\sigma \prod_{p=1}^n a_{p\tau(p)}b_{\tau(p)\sigma(p)}= $$

$$ =\sum\limits_{\tau\in M_n}\prod\limits_{p=1}^n a_{p\tau(p)}\sum\limits_{\sigma\in S_n}\operatorname {sgn}\sigma \prod_{p=1}^n b_{\tau(p)\sigma(p)}= $$

Заменяем $\tau\in M_n$ на $\tau\in S_n$, т.к. для $\tau\in M_n\setminus S_n$ последняя сумма равна нулю:

$$ =\sum\limits_{\tau\in S_n}\prod\limits_{p=1}^n a_{p\tau(p)}\sum\limits_{\sigma\in S_n}\operatorname {sgn}\sigma \prod_{p=1}^n b_{\tau(p)\sigma(p)} =\sum\limits_{\tau\in S_n}\prod\limits_{p=1}^n a_{p\tau(p)}\sum\limits_{\sigma\in S_n}\operatorname {sgn}\sigma \prod_{p=1}^n b_{p\sigma\tau^{-1} (p)}= $$

$$ =\sum\limits_{\tau\in S_n}\operatorname {sgn}\tau\prod\limits_{p=1}^n a_{p\tau(p)}\sum\limits_{\sigma\in S_n}\operatorname {sgn}(\sigma\tau^{-1}) \prod_{p=1}^n b_{p\sigma\tau^{-1} (p)}=\det A\det B $$

Короче не стало, а непонятнее -- стало, на мой взгляд.

[Padawan]

Надо в таком стиле формулу Бине-Коши и теорему Лапласа доказать.

[EminentVictorians]

(Оффтоп)

Я вчера вслепую пытался доказать, сразу внутри нотации без троеточий. Сегодня бы отписался, если бы Вы меня не опередили.

Padawan в сообщении #1587127 писал(а):

$$\sum\limits_{\sigma\in S_n}\operatorname {sgn}\sigma \prod_{p=1}^n\sum\limits_{k=1}^n a_{pk}b_{k\sigma(p)}$$

Я здесь писал вот так:

$$\sum\limits_{\sigma\in S_n}\operatorname {sgn}\sigma \prod_{p=1}^n\sum\limits_{k_p=1}^n a_{pk_{p}}b_{k_{p}\sigma(p)}$$

Но у Вас дальше это ни на что не влияет, так что здесь видимо просто косметический момент.

А вот у меня влияло бы. Я дальше писал:

$$\sum\limits_{\sigma\in S_n}\operatorname {sgn}\sigma \sum\limits_{1\leqslant k_1 , ... , k_n \leqslant n}^n \quad \prod_{p=1}^n a_{pk_{p}} b_{k_{p}\sigma(p)}$$

[EminentVictorians]

Padawan, спасибо за список правил суммирования, который Вы привели. Я хотел бы еще раз вернуться к теме, в частности спросить про некоторые из них. Рассмотрим, например, вот это:

Padawan в сообщении #1587127 писал(а):

1) Смена индекса

$$\sum\limits_{i\in M} a_i=\sum\limits_{j\in M} a_j$$

В какой наибольшей общности можно его сформулировать? Мне хотелось бы формулировку примерно следующего вида:
Пусть $P(i)$ - одноместный предикат. Тогда

$$\sum\limits_{P(i)} a_i=\sum\limits_{P(j|i)} a_j$$

где $P(j|i)$ - предикат, полученный формальной подстановкой символа $j$ вместо каждого вхождения символа $i$ в предикате $P(i)$. Будет ли это корректной теоремой? Кажется, что нет, т.к. нужны какие-нибудь дополнительные условия, типа наличия переменной $j$ в каком-нибудь заранее фиксированном алфавите, "чистоты" переменной $j$ (в том смысле, что она нигде не встречается в предикате $P(i)$) и может быть что-то еще. Но с другой стороны, интуитивно кажется, что если произнести все необходимые оговорки, то эту формулировку можно довести до ума.

Помогите разобраться со всеми этими вопросами именно на таком уровне рассмотрения.

[Padawan]

EminentVictorians в сообщении #1587689 писал(а):

где $P(j|i)$ - предикат, полученный формальной подстановкой символа $j$ вместо каждого вхождения символа $i$ в предикате $P(i)$. Будет ли это корректной теоремой?

Да, только надо добавить "свободного вхождения".
Я бы на таком уровне формальной строгости не хотел обсуждать правила преобразования сумм, так как вижу их как технический инструмент для работы с суммами. Есть же техника, которая делается на автомате, типа вынесения общего множителя за знак суммы, разбивка суммы на несколько слагаемых и т. д. Просто надо несколько расширить этот список.

[EminentVictorians]

Padawan в сообщении #1592529 писал(а):

Есть же техника, которая делается на автомате

Вот я потому и выкручиваю на максимум уровень строгости, потому что не уверен, что такие преобразования действительно можно делать на автомате. Это свойство с заменой переменной только выглядит простым (потому что Вы привели его в самой простейшей форме). Но это же не совсем свойство, это скорее "схема свойств". Где гарантия, что для любого представителя из этой схемы все всегда будет работать? Заменять можно только односимвольную переменную или целое выражение на другое выражение? У меня есть подозрение, что на таком уровне рассмотрения, как у Вас, автоматически делать не получится - придется контролировать ОДЗ или заниматься еще какой-нибудь подобной фигней.