Иррациональная система

[Rak so dna]

Дано:
$\left\{ \begin{array}{lcl} \left(a+\sqrt{b^2+1}\right)\left(b+\sqrt{a^2+1}\right)=\sin^2\varphi \\ \left(a-\sqrt{b^2+1}\right)\left(b-\sqrt{a^2+1}\right)=\cos^2\varphi \\ \left(a+\sqrt{a^2+1}\right)^3\left(b+\sqrt{b^2+1}\right)^3+1=p \end{array}\right$

Найти все возможные значения $p$

[Dendr]

Ну, простым способом получается что

(Оффтоп)

тТолько ноль: переходим к гиперболическим функциям, получаем уравнение $x+1/x=1$, где $x$ входит в последнее выражение в виде $p=x^3+1$ -

Сложным, то есть с перетаскиванием всех радикалов за собой, и через $a=a(\varphi), b=b(\varphi)$ получая явное выражение для $p=p(\varphi)$ - не особо.

[Rak so dna]

Верно. "Сложный" способ такой:

Пусть $\sqrt{a^2+1}=x,\ \sqrt{b^2+1}=y$, тогда:

$(a+x)(b+y)=\sin^2{\varphi}-(x-y)(a-b)=\sin^2{\varphi}-\frac{(x^2-y^2)(a^2-b^2)}{(x+y)(a+b)}=$

$=\sin^2{\varphi}-\frac{(a^2-b^2)^2}{(a+x)(b+y)-(a-y)(b-x)}=\sin^2{\varphi}-\frac{1-\sin^2{\varphi}\cos^2{\varphi}}{(a+x)(b+y)-\cos^2{\varphi}}$

Отсюда:

$[(a+x)(b+y)]^2-(\sin^2{\varphi}+\cos^2{\varphi})[(a+x)(b+y)]+1=0$

и

$[(a+x)(b+y)]^3+1=0$