Что такое алгебра?

[Maxim19]

Здравствуйте, столкнулся с алгебраической структурой алгеброй. В определении как-то намудрили. Я правильно понимаю, что алгебра - это кольцо, которое можно умножить дополнительно на элемент какого-то поля, и то умножение коммутативно. Ну или не умножить, а любая операция. Просто в определении там отталкиваются от смеси векторного пространства+добавление к векторам произведения+коммутативность умножения на поле

[Aritaborian]

Вам Рабинович по телефону напел?

Maxim19 в сообщении #1592372 писал(а):

там

это где? Разве сложно написать: «в учебнике таком-то в главе такой-то написано:» — и цитата? А то в половине подобных случаев оказывается, что «там» ничего подобного не говорили. Ну и потом, это просто вопрос уважения к собеседникам.

[Maxim19]

Это не относится к вопросу. Если вам любопытно, откуда это определение, то так бы и спросили. Кострикин это, а определение через векторные пространства, как я вижу, очень популярны, ибо не первый раз встречаю. Громоздко только, вот и решил иначе предсвить в голове. Вот хотел узнать, ничего ли не упустил, определяя так

[zykov]

Алгебра (значения)

Цитата:

Алгебра — раздел математики, а также название некоторых математических структур.

**** Алгебра — одна из основных крупных ветвей математики, являющаяся развитием и обобщением арифметики.
******** Алгебра в универсальной алгебре — алгебраическая система с пустым множеством отношений.
************ Алгебра над кольцом — модуль над кольцом, наделённый некоторыми дополнительными свойствами.
************ Алгебра над полем — частный случай алгебры над кольцом.

[Maxim19]

Ну в моём случае это алгебра над полем. Но это не ответ на вопрос. Там определение через векторное пространство. Я же переопределил "по-простецки". Вопрос лишь в корректности этого определения

[zykov]

Алгебра над полем

Цитата:

Алгебра над полем — это векторное пространство, снабжённое билинейным произведением. Это значит, что алгебра над полем является одновременно векторным пространством и кольцом, причём эти структуры согласованы. Обобщением этого понятия является алгебра над кольцом, которая, вообще говоря, является не векторным пространством, а модулем над некоторым кольцом.

[Maxim19]

Ну это то хорошо. Вопрос то был в другом. Корректно ли моё определение алгебры. Вот и всё

[bot]

Maxim19 в сообщении #1592387 писал(а):

Корректно ли моё определение алгебры.

Эта абракадабра определением не пахнет. Где Вы прочитали, чтобы кольцо умножали на элемент бог весть какого поля?

Maxim19 в сообщении #1592372 писал(а):

Ну или не умножить, а любая операция

Это расшифровке не поддаётся даже с точки зрения просто грамматики.

[Евгений Машеров]

Главный недостаток Вашего определения не в том, что оно неверно. А что оно бесполезно, в отличие от определения через векторное пространство. Если можно утверждать, что некий объект векторное пространство - значит, мы уже очень много знаем о его свойствах. А Ваше определение ничего сказать об объекте не может.

[пианист]

Можно просто: как гомоморфизм одного кольца в другое. У Манина в лекциях так, например.

[Maxim19]

Евгений Машеров
Но в моём определении все свойства переносятся. В определении через векторные пространства есть недостаток. Там идёт тавтология. Кольцо перенимает большинство свойств векторных пространств, а так повторять, что это и кольцо, и векторное пространство над полем - как-то избыточно на мой взгляд

-- 04.05.2023, 14:26 --

Вот я и решил сказать что это кольцо, плюс есть бинарная операция над полем.

[mihaild]

Maxim19 в сообщении #1592372 писал(а):

и то умножение коммутативно

Какое "то"? Умножение элементов поля на элементы кольца? Как для него вообще можно определить коммутативность?

Вообще, алгебра над полем $F$ - это структура $A$ с тремя операциями, $+: A\times A \to A$, $\cdot: A \times A \to A$, $\circ: F \times A \to A$ и с известно какими свойствами этих операций.
И можно по-разному их сгруппировать. Можно сказать, что $(A, +, \cdot)$ это кольцо, и дальше к нему добавили $\circ$. Можно сказать, что $(A, +, \circ)$ это векторное пространство, и дальше к нему добавили $+$. Разницы нет.

[Евгений Машеров]

И, кстати, коммутативность не обязательна. Алгебра матриц свидетель.

[Maxim19]

Нет нет, коммутативность бинарной операции на поле. Алгебра матриц. То есть кольцо матриц плюс векторное пространство над полем скаляров. Эти скаляры коммутативны с матрицами

-- 04.05.2023, 18:53 --

mihaild
Теперь понятно. Просто с кольцом выглядит получше. Мой случай получается как раз таки через кольцо плюс операция над полем

-- 04.05.2023, 18:55 --

Причём алгебра обязательно подразумевает коммутативность умножения на скаляры

[mihaild]

Maxim19 в сообщении #1592495 писал(а):

Эти скаляры коммутативны с матрицами

Коммутативность определяется только для операции на множестве (для функции из декартова квадрата множества в себя): $f(a, b) = f(b, a)$. А умножение элементов векторного пространства на скаляр определено на произведении двух разных множеств.