Замечаем, что в формуле

разности между первым нижним и первым верхним индексами одинаковы во всех членах:

. Аналогично, одинаковы разности между вторым нижним и вторым верхним индексами. Это наводит на мысль вместо

использовать (может быть, временно) другие коэффициенты, так сказать, более инвариантные:

Тогда имеем при


(как и в случае с

, коэффициент

считается нулевым, если хоть один индекс отрицательный). Эти соотношения связывают между собой только

с одними и теми же нижними индексами

, иначе говоря, для каждого набора нижних индексов получаем независимую подзадачу (в чём и был смысл введения

).
Идём дальше. Если бы условия имели вид

решением было бы

. В силу линейности рекуррентного соотношения, если теперь

умножить на коэффициент

, то есть взять

, все остальные

умножатся на тот же коэффициент, так что получим

Возвращаясь к

, получаем явный вид

и нужную формулу.