Обобщение биквадратных уравнений.

[Deciptikon]

Не даёт покоя вопрос, если есть биквадратные, триквадратные, бикубические уравнения и иже с ними, то есть ли отдельное название для n-квадратных или n-кубических уравнений? И что почитать про них?(именно такие уравнения и похожие на них) Есть ли статьи, учебники или иные работы по этому направлению? связи с группами и расширением полей?

[Aritaborian]

А что там может быть такого-этакого? Биквадратное сводится к квадратному, триквадратное, представьте себе, тоже. Бикубическое — к кубическому. Это простые алгебраические преобразования, искать там какие-то связи с «группами и расширениями полей» смысла нет.

[Deciptikon]

Вы не внимательно прочли вопрос....

[Mihr]

Deciptikon, если я правильно понял Ваш вопрос, то обобщением биквадратных уравнений служат трёхчленные уравнения. По аналогии обобщения бикубических можно было бы назвать четырёхчленными уравнениями, но я не уверен, что такой термин реально используется.

[Deciptikon]

Mihr в сообщении #1591546 писал(а):

обобщением биквадратных уравнений служат трёхчленные уравнения

Близко, но не совсем.
Вот квадратное уравнение:
$ax^2 + bx + c = 0$
Вот биквадратное:
$ax^4 + bx^2 + c = 0$
Триквадратное:
$ax^6 + bx^3 + c = 0$
"Четыреквадратное":
$ax^8 + bx^4 + c = 0$
и тд..

тоже и в отношении кубического уравнения и 4-й степени.
Все они имеют решения в радикалах.
А если начать использовать их как корни друг друга, и тд, получается целое "дерево" уравнений высшей степени имеющий решения (или нет?).
Вот интересно про это почитать, а как спросить не понятно и у кого тоже...

[Mihr]

Deciptikon в сообщении #1591844 писал(а):

Близко, но не совсем.

Выражение "трёхчленные уравнения" может использоваться в двух различных смыслах.
В широком смысле слова трёхчленные уравнения - это уравнения вида
$ax^p+bx^q+cx^r=0$,
где $p,q,r$ - целые неотрицательные числа, а коэффициенты $a,b,c$ - числа, отличные от нуля.
Однако термин "трёхчленные уравнения" нередко употребляют в другом, гораздо более узком смысле. Именно, так называют только уравнения вида
$ax^{2n}+bx^n+c=0$,
где $n$ - натуральное число, не меньшее двойки, а все коэффициенты $a,b,c$ отличны от нуля. Именно такие уравнения и служат естественным обобщением биквадратных уравнений. И решаются они практически по той же схеме, что и биквадратные.

[Deciptikon]

Mihr в сообщении #1591847 писал(а):

Однако термин "трёхчленные уравнения" нередко употребляют в другом, гораздо более узком смысле

Ну, раз так, то всё верно))) благодарю за ответ, возможно это хорошая зацепка для меня.
А про остальное нигде не встречали чего-то похожего? (книги, статьи, видео-лекции)
Я думаю это уже давным-давно исследовали, но это сложно найти, особенно человеку "не в теме"... (по крайней мере до сего момента я так и не нашел)

[пианист]

Deciptikon
Есть проблема разрешимости в радикалах, решенная, Абель и Галуа.
Были еще работы Чеботарева по т.н. проблеме редукции алгебраических уравнений.
Это обобщение разрешимости в радикалах; решение в радикалах редукция к $x^n-a=0$.