Основания математики по мнению EminentVictorians

[Dedekind]

Мой вопрос к EminentVictorians оказался удален вместе с темой, поэтому с разрешения модератора завожу отдельную. Прошу уважаемого EminentVictorians ответить на вопрос.

Dedekind в сообщении #1591526 писал(а):

EminentVictorians в сообщении #1591520 писал(а):

Не хочу разводить холивар (просто многие могут не согласиться со мной в этом моменте), но я считаю, что формальная теория множеств - это не основа математики. Точно так же как аксиомы Пеано - это не основа натуральных чисел.

И все же, что, по-Вашему, является основой математики? Спрашиваю не с целью похоливарить, а для себя. На случай, если тоже захочется "покопаться в основах" (на самом деле, уже хочется, да времени все не хватает).

[Anton_Peplov]

Я бы разделял понятия "основы математики" и "основания математики".

Здесь важно понимать исторический контекст. До XX века математики не утруждали себя аксиоматизацией никаких теорий, кроме евклидовой геометрии. Да и оперировали они очаровательно конкретными по нынешним временам понятиями. Самым абстрактным из того, с чем им приходилось иметь дело, было, пожалуй, произвольное подмножество $\mathbb C$. Вряд ли кого-то особенно беспокоила непротиворечивость: казалось невозможным придумать пятиугольный треугольник и не заметить, что что-то не так.

Но вот в начале XX века Кантором была создана наивная теория множеств, рассматривающая не множества чисел или точек (это делали и до Кантора), а "множества чего угодно". Попытка рассмотреть множество всех множеств выявила, что это понятие противоречиво. Одновременно развивалась математическая логика. Фреге исписал толстый том по логике, пользуясь (в современной терминологии) неограниченной аксиомой свертки, прежде чем ему сообщили, что эта аксиома позволяет получить множество всех множеств и, значит, ведет к противоречию. На Фреге это произвело столь тяжелое впечатление, что он не только не стал публиковать второй том, но и вообще не написал больше ни одной работы по логике.

Стало очевидно, что математика достигла таких рубежей абстракции, на которых можно сформулировать противоречивое понятие и не заметить этого. Значит, во избежание противоречий нужно было решить, какие рассуждения и определения допустимы, а какие нет. Развернулась бурная дискуссия, в которой приняли участие, кажется, все выдающиеся математики того времени. Появились все эти интуиниционизмы, конструктивизмы и прочие измы. В конце концов из этой каши выкристаллизовался подход Гильберта: формальные языки и системы аксиом.

Гильберт и соавторы быстро доказали полноту и непротиворечивость логики высказываний и логики предикатов первого порядка. Предполагалось доказать то же для арифметики, а потом для анализа. К тому же Гильберт доказал, что вопрос о непротиворечивости евклидовой геометрии сводится к вопросу о непротиворечивости арифметики. Казалось, счастье уже близко.

Но тут грянули теоремы Геделя и оказалось, что формальная арифметика и любая формальная теория, содержащая арифметику, либо непротиворечива, либо неполна. Это сильно охладило пыл желающих поставить математику на единый фундамент. С одной стороны, стало понятно, что свести всю математику к полной и непротиворечивой формальной теории все равно не получится. А с другой, математики научились осторожности в определениях, стали избегать конструкций типа множества всех множеств и постепенно перестали бояться, что нечаянно придумают пятиугольный треугольник. Так что со временем основания стали просто еще одним разделом математических исследований: логикой, теорией алгоритмов и, да, аксиоматической теорией множеств. В том числе самой известной из таких теорий: ZFC (теория Цермело-Френкеля с аксиомой выбора).

В каком смысле ZFC сегодня является основанием математики? Есть консенсус, что почти любой объект, изучаемый математиками, можно определить на языке ZFC ("почти" тут остается для экзотических зверей, рассматриваемых, например, в других теориях множеств). Понятно, как определить в ZFC натуральные числа, кортеж, последовательность, функцию и так далее, а из этого можно слепить что угодно - хоть граф, хоть дифференциальное уравнение. Есть также консенсус, что почти любое корректное доказательство (с тем же самым "почти") можно переписать (формализовать) на языке ZFC. Однако на практике для сколько-нибудь сложных доказательств это огромный труд. Формализацией почти никто не занимается, а кто занимается, использует более частные формальные системы, чем ZFC (например, реализуемые в компьютерных пруверах). Более 99% математиков-исследователей по-прежнему пользуются неформальными определениями и доказательствами, а об основаниях знают только то, что не успели забыть со времен студенческих. В этом смысле ZFC не основа математики: знание ZFC никак не приближает к пониманию современной математики и не помогает ею заниматься.

Что называть основами математики - вопрос отдельный. Возможно, теории и концепции, без которых не обойтись почти нигде или которые помогают рассмотреть многое с единых позиций и увидеть похожее в непохожем. Ну, например, без понятия функции никуда, и без подхода "возьмем множество-носитель и определим на нем операции и свойства", и без факторизации aka разбиения на классы... Зная EminentVictorians, предположу, что он будет грудью стоять за теорию категорий. Но также предположу, что, например, Red_Herring с ним не согласится. Вообще, на каком уровне абстракции заканчивается полезность и начинается спорт/любовь к искусству - вопрос непростой. Вон даже о вопрос полезности общей топологии для понимания анализа сколько копий сломано.

[EminentVictorians]

По поводу оснований я думаю вот что.
Возьмем сначала натуральные числа. Есть мнение, что натуральные числа - это то, что описывается аксиомами Пеано (как теорией первого порядка). Но известно, что существуют нестандартные модели натуральных чисел. По-сути, это означает, что аксиоматика Пеано не категорична. Я же верю, что натуральные числа единственны в своем роде. Для меня очевидно, что эта некатегоричность является следствием слабости самой аксиоматики Пеано. (но на каком уровне эта слабость - на уровне аксиом или на уровне всей логики первого порядка - я пока не знаю)
Можно взять пример с теоремой Гудстейна. Она так-то истинная, но в PA ее доказать нельзя. Говорит ли это что-то о натуральных числах? По-моему, вообще ничего не говорит. А говорит лишь о слабости PA. Более того, я-то как раз-таки удивлен, что утверждений типа теоремы Гудстейна мало. Я бы скорее поставил на то, что если серьезно покопаться в теории чисел и поискать какие-нибудь сложные теоремы (которые доказываются сложными комбинированными методами на пересечении анализа, теории вероятности, алгебраической геометрии и т.п.), то таких утверждений типа теоремы Гудстейна там может навылезать вагонами.

Но из этого не следует, что я как-то особенно не люблю аксиомы Пеано. Совсем нет. Просто я к ним отношусь не как к основаниям натуральных чисел, а как к их модели. Грубо говоря, ход мыслей примерно следующий. Есть много вещей, которые плохо поддаются моделированию. Тут можно приводить кучу примеров из социальных, биологических и прочих наук; думаю понятно, что я имею в виду. Но нам очень сильно повезло: рассуждения и логика оказывается поддаются некоторому математическому моделированию. Они достаточно просты, чтобы быть моделируемыми. Например, одна из моделей логики - это обычная логика первого порядка. Я даже скажу более спекулятивно: единственная причина существования матлогики как науки заключается именно в этом факте. Но в чем заключается метод матлогики? Как мне кажется, основной метод - это взять какой-то сложный объект и связать с ним некоторую формальную систему. Формальная система должна быть достаточно примитивной, чтобы мы могли с этой формальной системой производить какие-то действия (самое простое - индукцию по построению формул). Ну т.е. глупо предъявлять аксиоматике Пеано, что она бедна - она специально такая, чтобы мы могли с ней что-то делать и получать какие-то содержательные результаты (о той вещи, к которой она привязана - т.е. о натуральных числах).

По поводу теории множеств аргументы более-менее те же самые. Теория множеств (какая-нибудь из) - это просто модель того, что мы, как люди, понимаем под множествами. Но тут сложнее. Если под натуральными числами я верю, что мы все понимаем одно и то же (вследствие каких-то базовых культурно-биологических бэкграундов, присущих чуть ли не вплоть до племенных жителей), то с множествами уже не так. Но как бы там ни было, любая формальная теория множеств - это не основание, а модель.

Я выделяю 2 основных пользы от такого моделирования:
1) Доказательства независимости
2) Автоматическая проверка теорем на компьютере.

Ну т.е. давайте возьмем какой-нибудь факт, который не зависит от аксиом, пусть, $ZFC$. Допустим, континуум гипотезу. Вот доказали, что она недоказуема в $ZFC$. Говорит ли это что-то о реальном положении дел в $\mathbb R$? Я считаю, что нет. Другими словами, я считаю, что здесь ситуация, абсолютно аналогичная с теоремой Гудстейна. Т.е. я считаю, что вопрос о промежуточных мощностях имеет однозначный ответ "да" или "нет". Следует ли из этого, что я считаю доказательство Коэна бесполезным? Нет конечно. Оно очень полезно. В частности оно как бы говорит нам, что пытаться доказать или опровергнуть континуум-гипотезу должно быть очень сложным делом. Вот она - конкретная польза от формального моделирования.

С пунктом 2) еще понятнее, думаю тут даже нету смысла подробно останавливаться.

Вот как-то так.

[Anton_Peplov]

EminentVictorians в сообщении #1591551 писал(а):

под натуральными числами я верю, что мы все понимаем одно и то же (вследствие каких-то базовых культурно-биологических бэкграундов, присущих чуть ли не вплоть до племенных жителей)

Да, я тоже верю, что все, кто умеет считать до ста, считают до ста одинаково. А те, кто не умеет, могут научиться. И каждому при должном усердии можно объяснить, что такое $10^{10^{1000}}$, и пусть он никогда не досчитает до этого числа, он будет понимать, что его тоже можно на что-то разделить, прибавить единицу и так далее. Другими словами, в голове у человека имеется (или можно создать) образ натурального числа, и этот образ будет одинаков для всех людей. И он хорош для того, чтобы считать мамонтов и ракушки. Или даже доказать бесконечность множества простых чисел по Евклиду.

Теорема Гудстейна - хороший пример, потому что последовательность Гудстейна не требует ничего сложнее возведения в степень. Очень трудно представить двух людей, умеющих совершать арифметические операции, которым показали последовательность Гудстейна обозримого размера и они разошлись во мнениях, правильно она построена или нет.

Тем не менее я вполне допускаю, что о каких-то более тонких свойствах натуральных чисел кросс-культурной и интерсубъективной интуиции у человека просто нет. Я плохо знаком с теорией чисел и не готов привести пример. Но ведь в арифметике можно выразить, например, теорию алгоритмов со всеми ее головоломными парадоксами вроде алгоритмически неразрешимых задач или теоремы Райса. Так что я настороженно отношусь к тезису "у всех в голове одни и те же натуральные числа". Пока речь идет о числах, до которых мы можем досчитать - да. Пока речь идет о достаточно простых абстракциях над ними вроде "перемножим все простые числа до $N$ и прибавим к результату единицу" - возможно. Но чем дальше в лес, тем меньше у меня этой уверенности.

[EminentVictorians]

Anton_Peplov, у Вас получился классный пост; прочитал с интересом.

Anton_Peplov в сообщении #1591555 писал(а):

Очень трудно представить двух людей, умеющих совершать арифметические операции, которым показали последовательность Гудстейна обозримого размера и они разошлись во мнениях, правильно она построена или нет.

Согласен.

Anton_Peplov в сообщении #1591555 писал(а):

Тем не менее я вполне допускаю, что о каких-то более тонких свойствах натуральных чисел кросс-культурной и интерсубъективной интуиции у человека просто нет.

Тоже согласен.

Но каков следующий шаг? Формалисты начинают вводить здесь формальные теории и уверяют, что строгое доказательство - это набор строчек в их формальной системе. А я-то считаю, что можно добиться полной строгости без формализации. Другими (точнее Вашими ) словами, я бы сказал следующее: Очень трудно представить двух людей, умеющих в наивную теорию множеств, которым показали тонкое свойство натуральных чисел (сформулированное на языке наивной теории множеств - как в обычной математике) и они разошлись во мнениях по поводу формулировки этого свойства.

[Anton_Peplov]

EminentVictorians в сообщении #1591557 писал(а):

у Вас получился классный пост; прочитал с интересом

Спасибо.

EminentVictorians в сообщении #1591557 писал(а):

Очень трудно представить двух людей, умеющих в наивную теорию множеств, которым показали тонкое свойство натуральных чисел (сформулированное на языке наивной теории множеств - как в обычной математике) и они разошлись во мнениях по поводу формулировки этого свойства.

Разошлись во мнениях, обладает ли этим свойством число $5$? Трудно представить.
Разошлись во мнениях, корректно ли предъявленное доказательство, что всякое натуральное число $n$ обладает этим свойством? Легко представить.
Это свойство оказалось чем-то вроде подобия всех правильных пятиугольных треугольников с углом $n$? Легко представить.

[EminentVictorians]

Anton_Peplov в сообщении #1591558 писал(а):

Разошлись во мнениях, корректно ли предъявленное доказательство , что всякое натуральное число $n$ обладает этим свойством? Легко представить.

А вот мне нелегко. Я согласен, что наиболее опасное место - не формулировка, а доказательство. Но я слабо представляю, как 2 человека (владеющих наивной теорией множеств и предметной областью) могут разойтись во мнениях по поводу нормального, математически строгого (в обычном смысле - не формальном) текста. Можно конечно представить, что один из них будет использовать аксиому выбора, а другой - конструктивист. Но они разойдутся в любом случае - прямо на самом первом этапе выбора формальной системы (если уж говорить про текущее положение дел с формализацией как критерием строгости).

Ну точнее я могу представить, что, например, одному из них не будет нравится трансфинитная индукция, а другой будет ее свободно использовать. Ну или аксиому выбора. Но больше вообще никаких вариантов не вижу. Но формализацией такие вопросы тоже не решаются.

Anton_Peplov в сообщении #1591558 писал(а):

Это свойство оказалось чем-то вроде подобия всех правильных пятиугольных треугольников с углом $n$? Легко представить.

Ну а что тут такого? Да, некоторое свойство оказалось внутренне противоречивым. Множество натуральных чисел, обладающих этим свойством, пустое. По-моему, это обычное дело, с формализацией не связанное.

[Anton_Peplov]

EminentVictorians в сообщении #1591559 писал(а):

Ну точнее я могу представить, что, например, одному из них не будет нравится трансфинитная индукция, а другой будет ее свободно использовать. Ну или аксиому выбора. Но больше вообще никаких вариантов не вижу.

Вы знаете трудный момент при переходе от наивной теории множеств к аксиоматической (независимость аксиомы выбора от других аксиом) и не можете представить никаких других трудностей. Трудностей может быть десять вагонов и пять маленьких тележек. Раз нет никаких запретов на то, какие множества можно строить, то пачками могут вылезать ситуации вроде той, что случилась с доказательством Хэйлса гипотезы Кеплера об упаковке сфер.

С. Кранц писал(а):

Двадцать венгерских математиков в течение трёх семестров вели семинар, посвящённый этой статье. В общей сложности они проработали над ней четыре года. А в конце сказали, что на 99% уверены, что она верна.

EminentVictorians в сообщении #1591559 писал(а):

Да, некоторое свойство оказалось внутренне противоречивым. Множество натуральных чисел, обладающих этим свойством, пустое.

"Свойство является внутренне противоречивым" и "мы знаем, что свойство внутренне противоречиво" - это две большие разницы и три маленьких. Что и продемонстрировала поучительная история с неограниченной аксиомой свертки, на которой Фреге воздвиг целую теорию (см. мой первый пост в этой теме). Формализация была придумана для того, чтобы избегать таких ситуаций.

[EminentVictorians]

Anton_Peplov в сообщении #1591563 писал(а):

Раз нет никаких запретов на то, какие множества можно строить, то пачками могут вылезать ситуации вроде той, что случилась с доказательством Хэйлса гипотезы Кеплера об упаковке сфер.

Я не очень в курсе этой ситуации. Что там было? Просто сложное доказательство? Или действительно какой-то "неконвенциональный" способ построения множества? А то если просто сложное доказательство, то можно взять и классификацию простых конечных групп или $abc$-гипотезу. Ну да, сложные доказательства. Но формализация сделает их разве что еще сложнее (причем на порядки). Я согласен, что формализация может помочь убедиться в истинности некоторого рассуждения. Ну так это пункт 2) из моего первого поста. Я же не против использования формализации для того, чтобы увеличить уверенность в правильности того или иного рассуждения. Я против мифа, что формализация есть необходимая логическая основа доказательств.

Anton_Peplov в сообщении #1591563 писал(а):

"Свойство является внутренне противоречивым" и "мы знаем, что свойство внутренне противоречиво" - это две большие разницы и три маленьких.

А я хотел предложить Вам поисследовать класс всюду дифференцируемых и вместе с этим всюду разрывных функций вида $\mathbb R \to \mathbb R$ Я могу для них пару теорем доказать, например, Лагранжа или Ферма. Ну а правда - какая проблема-то? Вроде бы все в пределах обычной наивной теории множеств.

Anton_Peplov в сообщении #1591563 писал(а):

Что и продемонстрировала поучительная история с неограниченной аксиомой свертки, на которой Фреге воздвиг целую теорию (см. мой первый пост в этой теме).

Тоже к сожалению не знаю про эту историю. Можно (пусть и сильно вульгаризировав) сказать, что его работа примерно эквивалентна длительному и кропотливому исследованию какого-нибудь пустого класса функций (типа того, который я привел выше, но менее очевидного)? Если так, то тоже не понимаю, при чем здесь формализация.

[Anton_Peplov]

EminentVictorians в сообщении #1591568 писал(а):

Что там было? Просто сложное доказательство? Или действительно какой-то "неконвенциональный" способ построения множества? А то если просто сложное доказательство, то можно взять и классификацию простых конечных групп или $abc$-гипотезу. Ну да, сложные доказательства.

Доказательство классификации простых конечных групп рассеянно по многочисленным работам сотен математиков, накопленным за полтора века. Оно никогда не было изложено в одном месте с начала до конца и без пропусков.

С. Кранц писал(а):

Майкл Ашбахер, ведущий авторитет в этой области, дал оценку, что полное доказательство должно занимать более 10000 страниц плотного математического текста, оставляющего значительную часть работы читателю.

Для доказательства $abc$-гипотезу Мотидзуки создал собственный математематический аппарат, настолько сложный и абстрактный, что рецензенты продирались сквозь него с огромным трудом.
А вот доказательство Хэйлса было коротким. Просто никто так и не смог понять, допустимы такие рассуждения или нет.

EminentVictorians в сообщении #1591568 писал(а):

Можно (пусть и сильно вульгаризировав) сказать, что его работа примерно эквивалентна длительному и кропотливому исследованию какого-нибудь пустого класса функций (типа того, который я привел выше, но менее очевидного)?

Работа примерно эквивалентна выстраиванию всего матанализа, исходя из существования таких функций, которых на самом деле не существует. При этом представьте, что это одно из первых, если не первое, систематическое выстраивание всего матанализа.

EminentVictorians в сообщении #1591568 писал(а):

Если так, то тоже не понимаю, при чем здесь формализация.

Формализация ограничивает число средств, допустимых в построении новых "функций", таким образом, чтобы такие "функции", как у Фреге, точно не образовывались.

[EminentVictorians]

Anton_Peplov в сообщении #1591603 писал(а):

А вот доказательство Хэйлса было коротким.

Заинтриговали. Нашел его доказательство (вот ссылка на пдф). Доказательство действительно короткое (121 стр. ). Я почитал его в случайных местах. Скажу сразу, в комбинаторной геометрии я ни бум-бум, но текст производит впечатление абсолютно соответствующего стандартам математической строгости. Я правда не понимаю, что можно делать с этой маленькой книжкой 4 года. К тому же и математика там не выглядит какой-то заоблачно сложной.

У него там встречаются иногда фразы типа ".... is similarly proved." Я уж не знаю, similarly это proved, или не similarly, но это единственные тонкие места, которые я там заметил. Ну не будет же Хэйлс намеренно прятать в такие места нетривиальные куски рассуждения. А если все же прячет, то это проблема Хэйлса, а не математики.

Так что я не понимаю, почему доказательство Хэйлса какое-то особенное. Если эти 20 математиков действительно не могли 4 года разобраться в сотне страниц не самого сложного математического текста, то я вижу только одну причину для этого: Хэйлс спрятал сложные фрагменты рассуждений в фразы типа "очевидно, что...", "... доказывается так же, как..." и т.п. Если он так сделал, ему наверняка это объяснили. В такой ситуации нормальный человек просто возьмет и сделает свое доказательство чуть более длинным и подробным. Но Хэйлс пошел делать формализацию. Зачем - непонятно.

Но если там правда есть какой-то "неконвенциональный" логический финт или способ построения множеств, то мне это было бы очень интересно. Но я понимаю, что Вы вряд ли читали это доказательство полностью, так что это просто мысли вслух, а не просьба.

[Anton_Peplov]

EminentVictorians в сообщении #1591616 писал(а):

Но Хэйлс пошел делать формализацию.

Этого я не говорил и о таком ничего не знаю. Я лишь говорил, что прямое прописывание того, как можно, а как нельзя рассуждать, поможет избежать ситуаций, когда неясно, логично рассуждение или нет.

EminentVictorians в сообщении #1591616 писал(а):

Но если там правда есть какой-то "неконвенциональный" логический финт или способ построения множеств, то мне это было бы очень интересно.

Мне тоже было бы очень интересно. Но если уж 20 профессионалов за четыре года не разобрались, в чем там финт, я тем более не стану пытаться.

Доказательство Хэйлса я привел только как пример доказательства, логическая структура которого неочевидна. Есть ли там банальная ошибка или действительно нечто нетривиальное с точки зрения логики, я не знаю. Оба варианта можно допустить.

[EminentVictorians]

Anton_Peplov в сообщении #1591617 писал(а):

Этого я не говорил и о таком ничего не знаю.

Он действительно пошел делать формализацию и за 9 лет сделал.

В общем, я просто хотел сказать, что на мой взгляд можно добиться полной строгости без формализации. Формализация, очевидно, может быть полезной. Но мне кажется, что она - просто один из способов исследования математических объектов, а не какая-то там логическая первооснова всего математического сущего. Но это я уже больше для Dedekind-а пишу.

Dedekind, если я на что-то не ответил - пишите, спрашивайте.

[Dedekind]

EminentVictorians
Прошу прощения за поздний ответ, у меня как-то потерялась эта тема. Спасибо, было интересно почитать. Попробую обобщить, правильно ли я Вас понял. Вы считаете, что математические объекты, которые мы называем "натуральными числами", "множествами" и т.д. существуют независимо, где-то в, условно говоря, Платоновском мире идей и они (а не их модели) являются основаниями всей математики. При этом мы можем исследовать эти объекты с помощью формальных систем, но это не единственная возможность. Верно?
Если да, то вот что осталось непонятным.

1. Если Вы считаете, что

EminentVictorians в сообщении #1591557 писал(а):

можно добиться полной строгости без формализации

то что Вы понимаете в таком случае под "доказательством" и "полной строгостью"? В формальных системах это понятно что:

EminentVictorians в сообщении #1591557 писал(а):

строгое доказательство - это набор строчек в их формальной системе

А как сформулировать доказательство без формальных систем? Причем не просто "рукомахательно":

Anton_Peplov в сообщении #1591549 писал(а):

более 99% математиков-исследователей по-прежнему пользуются неформальными определениями и доказательствами

а обеспечив при этом именно, как Вы выразились, "полную строгость"?

2. Возвращаясь к первоначальному вопросу темы. Действительно, как написал Anton_Peplov, основы математики и основания математики - это разные вещи. И в исходном вопросе я имел в виду именно основы. Прошу прощения, что не уточнил это. Все же хотелось бы от Вас услышать: если не формальные системы, то что Вы порекомендуете для изучения именно в качестве основ математики?

[EminentVictorians]

Dedekind в сообщении #1592746 писал(а):

Вы считаете, что математические объекты, которые мы называем "натуральными числами", "множествами" и т.д. существуют независимо, где-то в, условно говоря, Платоновском мире идей

Не совсем. Насколько я помню, платонисты считают, что все абстракции находятся в мире идей, это да. И они считают, что они математику открывают, а не создают. Я в этом смысле совершенно не платонист. Я считаю, что мы математику именно что создаем. Создаем язык, нотации, системы понятий. Сами, своим усилием воли, выделяем одни понятия и присваиваем им названия и обозначения. А другим, возможно не менее важным (а может быть и более важным) понятиям, не присваиваем (причем часто в силу не очень внятных причин типа истории, традиций и т.д.).

Dedekind в сообщении #1592746 писал(а):

и они (а не их модели) являются основаниями всей математики.

А вот с этим скорее согласен. Просто живут они не в платоновском мире идей, а немного в другом месте. Где-то в универсуме интерсубъективных кросс-культурных понятий, присущих всем людям (как биологическому виду). А может быть и не всем, а, например, достаточно образованным, чтобы эти абстракции воспринимать. Тут уже не знаю. Короче говоря, это не какой-то полумифический платоновский мир, а просто совокупность вещей, обусловленных, нашей биологией, историей, особенностям жизни на планете Земля и т.д. Здесь самый очевидный пример - десятичная система счисления. По-моему, это странная мысль, что она какая-то особенная и выделенная в платоновском мире. Нет, она используется просто потому что у нас 10 пальцев на руках - чистая биология. Сами натуральные числа - это скорее всего тоже просто артефакт необходимой бытовой деятельности человека. Была бы бытовая деятельность другой - может быть и не возникли бы натуральные числа как первейшие.

Dedekind в сообщении #1592746 писал(а):

При этом мы можем исследовать эти объекты с помощью формальных систем, но это не единственная возможность. Верно?

Я считаю, что да.

Dedekind в сообщении #1592746 писал(а):

то что Вы понимаете в таком случае под "доказательством" и "полной строгостью"?

А много всего. Например, я считаю, что обычное доказательство на естественном языке может быть полностью строгим. Большинство доказательств, которые Вы можете встретить в учебниках и статьях - именно такие. Да, некоторые такие доказательства могут и не быть строгими. Но по-моему, это уже проблема больше социальная, чем математическая. Т.е. я считаю, что это проблема доказывающего, а не математики.

Dedekind в сообщении #1592746 писал(а):

А как сформулировать доказательство без формальных систем?

Как текст, который доказывает некоторый факт. Доказывает $=$ убеждает в истинности. Вы можете сказать, что "это же субъективно, одного убеждает, другого нет; где же объективные критерии?". И я соглашусь. Да, это субъективно. И да, на мой взгляд, в этом нет ничего страшного. Примеры есть даже в этой теме. Берете доказательство, например, того, что любое векторное пространство обладает базисом. Показываете одному человеку (например, мне) и я соглашаюсь, что это нормальное доказательство (т.к. я принимаю аксиому выбора). Показываете конструктивисту и он не соглашается с тем, что это нормальное доказательство. И вообще, с самим фактом не соглашается. Есть ли объективная истина? По-моему, нету. Истина зависит от тех средств в рассуждениях, которые Вы считаете законными. И я не вижу в этом проблемы. Вам может показаться, что здесь есть противоречие с тем, что я считаю, что континуум гипотеза однозначно верна или нет. Но мне кажется, что противоречия нету. Здесь во-первых, структура конкретная ($\mathbb R$), а во-вторых, вопрос об однозначности должен ставится после того, как мы зафиксировали набор средств, которые мы считаем законными. Я считаю (это просто мнение, а не какой-то установленный факт), что тех средств, которые я использую в процессе работы с множествами, достаточно, чтобы утверждать об однозначности ответа на континуум гипотезу. Просто я не считаю, что я использую средства, равные формальной $ZFC$ как теории первого порядка. Т.е. здесь опять субъективный момент: я считаю, что континуум гипотеза имеет однозначный ответ для меня, т.е. в рамках той системы средств работы с множествами, которые принимаю я, а не кто-то другой. Для другого она может быть независимой от аксиом (если этот другой, например, работает исключительно в рамках формальной $ZFC$)

Просто не надо заранее ставить вопрос так, чтобы единственным ответом на него была формализация. Типа: "как формально определить понятие доказательства, не используя при этом формальных систем". Ответ: никак. Формально и без формальных систем никак. Но формально и не надо.

Dedekind в сообщении #1592746 писал(а):

И в исходном вопросе я имел в виду именно основы. Прошу прощения, что не уточнил это. Все же хотелось бы от Вас услышать: если не формальные системы, то что Вы порекомендуете для изучения именно в качестве основ математики?

Нет, ну основы - это совсем другое. Основы, наверное, это что-то типа действий с дробями, навыков умножения и деления столбиком и все духе школьной программы (не знаю, до какого класса; 5-6-7 наверное). Я считаю, что школьные учебники вполне подходят под это дело (главное, чтобы без фанатизма - я, например, их полностью никогда не читал). Но я не уверен, это ли Вы спрашивали. Если говорить не про "основы", а про базовые разделы "высшей" математики, то тут уже все очень сильно зависит от того, чем Вы хотите заниматься. Я для себя нашел ту математику, которая мне интересна. У Вас, наверняка, будет что-то другое. Соответственно и "базовые разделы" будут скорее всего разные. Мой совет - отталкивайтесь от интереса.

-- 06.05.2023, 15:26 --

Dedekind в сообщении #1592746 писал(а):

если не формальные системы, то что Вы порекомендуете для изучения именно в качестве основ математики?

Формальные системы в качестве основ точно не порекомендую