Двойной ряд или что вообще происходит

[mskhl]

Доброго времени суток.
Уже 2-й день туплю и никак не могу понять переход в доказательстве в одной книге.
В общем говоря, суть следующая: вводится понятие внешней меры Лебега
{\mu^{*} \colon 2^{ \boldsymbol{E} } \to \mathbb{R_{+}}}
\mu^{*}(A) = \inf_{A \subseteq \cup_{n=1}^{\infty} C_{n}} \sum\limits_{n=1}^{\infty} m(C_{n}), \quad где \space C_{n} \in \boldsymbol{S} \space, а \space \boldsymbol{S} \space - полукольцо с единицей \space \boldsymbol{E}

Далее пытаемся доказать, что эта штука сигма-полуаддитивна. Тут я приложу лучше скрин с книги.

Я не понимаю того, как из того факта, что вот это двойное объединение множеств содержит множество A следует, что внешняя мера А меньше вот такой двойной суммы. По определению внешней меры она является точной нижней гранью сумм мер для счетного объединения. Понятно, что такие двойные суммы тоже счетны, но почему мы можем писать вот именно в таком порядке суммирование? Я никак не могу понять. По идее, мы должны перенумеровать \left\{ \boldsymbol{A_{i,j}} \right\}_{i=1 j = 1}^{\infty \infty} в счетную последовательность \left\{ A_{x_n} \right\}_{n=1}^{\infty} и тогда \mu^{*}(A) \leqslant \sum\limits_{n=1}^{\infty} m(A_{x_n}). А как из этого получить двойную сумму я вообще не понимаю.

[Ende]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: темы, в которых нужно что-то объяснить или подсказать в пределах учебных курсов, создаются в этом разделе.

[mihaild]

Мера неотрицательна, для знакопостоянных рядов можно порядок суммирования менять как угодно. Т.е. при любой нумерации будет расходиться, или сходиться к одному и тому же числу, и двойная сумма будет вести себя так же.
Докажите, что для ряда с неотрицательными членами и сумма в любом порядке, и повторная сумма с любым разбиением равны просто супремуму конечных сумм.