Равенство интегралов с полиномами Лежандра

[Taus]

Столкнулся со следующими равенством, которое не понимаю как доказать,

$$\int\limits_0^1 e^{\frac{\tau}{2}(1-x^2)} I_0\left(\frac{\tau}{2}(1-x^2)\right) P_{2n}(x)\, dx = P_{2n}(0)\int\limits_0^1 e^{\tau x^2} P_{2n}(x)\, dx,$$

где $I_0(z)$ - модифицированная функция Бесселя 1-го рода (другое название функция Инфельда), $P_{2n}(z)$ - полином Лежандра порядка $2n$, $\tau > 0$ параметр.

Численные значения в Mathematica при разных $\tau, n$ равны в пределах машинной точности. Произведение полиномов Лежандра в двух разных точках в правой части может быть намекает на то, что "где-то" по дороге был переход к сферическим функциям. Сам я потыкался в разные стороны с ними, но идей для доказательства не появилось.

[mihiv]

Но все же при $\tau =0$ правая часть равенства отличается от левой множителем $P_{2n}(0)$.

[Taus]

mihiv, сам интеграл равен $1$ для $n=0$ и $0$ для $n > 0$ при $\tau = 0$, потому что $\int_{-1}^1 P_k(x)\,dx = 0$ для $k > 0$.

[svv]

Taus, а где Вы такую формулу нашли? Может, там есть какие-то пояснения или ссылки?

[mihiv]

А что если разложить левую и правую части равенства в ряды Маклорена по $\tau $ и сравнить коэффициенты?

[Taus]

svv, формулы из некоторой старой статьи из ЖЭТФ. В тексте статьи между формулами из левой и правой части стандартный призыв к читателю доказать их равенство.
mihiv, да, так и получилось доказать их равенство. В левой части используем интегральное представление функции Бесселя, раскладываемся в ряд Маклорена по $\tau$. Возникают интегралы от $\cos^2k z$, которые известным способов вычисляются. Остаётся интеграл с $P_{2n}(x)$, в котором пользуемся соотношением

$$\int\limits_{-1}^{1} (1-x^2)^k P_{2n}(x)\,dx = \frac{2 k^2}{(k-n)(2k+2n+1)} \int\limits_{-1}^{1} (1-x^2)^{k-1} P_{2n}(x)\,dx$$

Для правой части

$$\int\limits_{-1}^{1} x^{2k} P_{2n}(x)\,dx = \frac{2^{n+1} \, (2k-1)!! \, k!}{(2(n+k)+1)!!\,(k-n)!}$$

Оба интеграла можно найти в справочнике Градштейна и Рыжика, и надо помнить что $k \geq n$.

Однако, для меня всё ещё загадка каким образом можно из левой части равенства получить правую?

[mihiv]

Taus в сообщении #1592448 писал(а):

Однако, для меня всё ещё загадка каким образом можно из левой части равенства получить правую?

Раз вы доказали, что они равны, то вот и способ получить из левой части правую.