2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Якобы схожесть формул (но это неточно)
Сообщение25.04.2023, 21:56 


25/04/23
11
В общем решая задачи заметил одну странную деталь в формулах где надо найти энергию

$E=\frac{mv^2}{2}$(Кинетическая)

$E=\frac{kx^2}{2}$(Маятника)

$E=\frac{CU^2}{2}$(Конденсатора)

$E=\frac{Li^2}{2}$(Катушки)

Вопрос: что между ними общего? Почему они так похоже и с чем это связано? :?:

 Профиль  
                  
 
 Re: Якобы схожесть формул (но это неточно)
Сообщение25.04.2023, 21:59 


10/03/16
3765
Aeroport
parameda в сообщении #1591139 писал(а):
Вопрос: что между ними общего?


Они все оформлены так, что дядя модератор сделает Вам а-та-та )))

parameda в сообщении #1591139 писал(а):
Почему они так похоже?


Потому что мы в Матрице.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение25.04.2023, 22:01 
Супермодератор


02/02/19
1792
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение25.04.2023, 22:54 
Супермодератор


02/02/19
1792
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»
Причина переноса: не указана.

 Профиль  
                  
 
 Re: Якобы схожесть формул (но это неточно)
Сообщение25.04.2023, 23:32 


17/10/16
3403
parameda
Это потому, что во всех этих случаях для нахождения энергии нужно проинтегрировать выражения, соответственно, $mudu$, $kxdx$, $CUdU$ и $Lidi$. Проще всего это понять для второго случая: сила $F=kx$ прямо пропорциональна перемещению $x$, а элементарная работа силы по определению равна $dA=Fdx$. Энергия - это интеграл работы, т.е. $E=\int\limits_{}^{}kxdx$. В общем, аналогично в остальных случаях.

Во всех этих случаях элементарная работа становится пропорционально все больше и больше с ростом соответствующей переменной. Работа силы по разгону тела на каждый следующий 1 м/сек пропорциональна самой скорости, работа силы по отклонению маятника на каждый следующий 1 см пропорциональна текущему положению маятника, работа по перенесению каждого следующего кулона заряда с одной пластины конденсатора на другую пропорциональна уже имеющемуся заряду и т.д. Т.е. "трудность" продолжать делать что-либо линейно возрастает пропорционально уже сделанному. Во всех этих случаях это так и есть, отсюда одинаковые формулы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Якобы схожесть формул (но это неточно)
Сообщение26.04.2023, 01:06 


05/09/16
11225
parameda в сообщении #1591139 писал(а):
Вопрос: что между ними общего?

Все они получаются из чего-то вроде $dA=kydy \to \int 1\cdot dA=k\int ydy \to A=k\dfrac{y^2}{2}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Якобы схожесть формул (но это неточно)
Сообщение26.04.2023, 01:09 


01/03/13
2483
Еще
$E=\frac{I w^2}{2}$ (Вращение)

 Профиль  
                  
 
 Re: Якобы схожесть формул (но это неточно)
Сообщение26.04.2023, 01:37 


20/04/10
1752

(Оффтоп)

Всё уже сказали, замечу только, что в формуле $E=mc^2$, просто проинтегрировали с ошибкой)

 Профиль  
                  
 
 Re: Якобы схожесть формул (но это неточно)
Сообщение26.04.2023, 01:46 


01/03/13
2483

(Оффтоп)

lel0lel в сообщении #1591189 писал(а):
Всё уже сказали, замечу только, что в формуле $E=mc^2$, просто проинтегрировали с ошибкой)
В таких случаях рекомендуется ставить не менее трёх скобочек в конце, чтобы наверняка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Якобы схожесть формул (но это неточно)
Сообщение26.04.2023, 02:11 


10/03/16
3765
Aeroport
lel0lel в сообщении #1591189 писал(а):
в формуле $E=mc^2$, просто проинтегрировали с ошибкой


Нет. Просто на ультра-релятивистских скоростях двойка становится единицей -- лоренцевский эффект сокращения

 Профиль  
                  
 
 Re: Якобы схожесть формул (но это неточно)
Сообщение26.04.2023, 07:14 


17/10/16
3403

(Оффтоп)

Я в свое время тоже искал причину того, почему же $E=mc^2$, а не $E=m\frac{c^2}{2}$? Как-то представлялось, что в пространстве-времени все тела имеют кроме скорости в пространстве еще и "скорость во времени". Для неподвижного тела "скорость во времени" должна быть равна, очевидно, $c$.

Тогда я решил эту загадку таким "рассуждением": поскольку ни одно тело не было разогнано до скорости $c$ во времени, но всегда изначально ее имеет, то при интегрировании выражения $mudu$ (где $u$ - "скорость во времени") от нуля до $c$ нужно искать не площадь треугольника со катетами $c$ (т.е. $\frac{c^2}{2}$), а площадь квадрата (т.е. $c^2$). Что-то вроде такого хитрого разгона, что скорость все время остается максимальной, а не нарастает постепенно.

Все это чушь, конечно. Но мне казалось тогда, что отсутствие двойки требует настоятельного объяснения.

Вообще, типично для многих (и для меня в том числе) взять результат какого-то приближения (динамки Ньютона, скажем) и искать от него логически строгий путь к точному результату (релятивистская динамика). Хотя ясно, что от точного результата к приближению такой путь, очевидно, всегда есть. Но наоборот его быть не может. Максимум, что можно получить наоборот - это подгонка, которая сопровождается подгоночными "объяснениями".

 Профиль  
                  
 
 Re: Якобы схожесть формул (но это неточно)
Сообщение26.04.2023, 19:27 
Заслуженный участник


29/09/14
1073

(Феноменологический подход)

Каждую из упоминавшихся формул для $E$ можно понимать просто как приближенное выражение для зависимости энергии $E(x)$ от соответствующего аргумента $x,$ которое "выводится" феноменологически из разложения функции $E(x)$ в ряд по степеням $x$ c учётом нескольких физических условий.

Например, пусть переменная $x$ описывает малую деформацию пружины, т.е. увеличение или уменьшение длины: $x>0$ при увеличении, $x<0$ - при уменьшении длины пружины. Энергию деформации пружины $E(x)$ запишем в виде ряда по степеням $x$ (штрих означает взятие производной): $$E(x)=E(0)+E'(0)\,x+\frac{1}{2}E''(0)\,x^2+...$$ и учтем требования, естественные с точки зрения физики, которым должна подчиняться эта функция. А именно учтём, во-первых, что энергию деформации недеформированной пружины (т.е. $E(x)$ при $x=0)$ можно считать равной нулю: $$E(0)=0.$$ Во-вторых, считаем, что энергия деформации пружины должна быть по определению положительной как при растяжении, так и при сжатии, т.е. и при $x>0$ и при $x<0.$ Следовательно, нечётное по $x$ слагаемое $E'(0)\,x$ должно отсутствовать, т.е. должно быть $$E'(0)=0.$$ В-третьих, в задачах только с малой деформацией ограничиваемся только первым неисчезающим слагаемым (у нас это квадратичный вклад $\frac{1}{2}E''(0)\,x^2),$ а всеми членами ряда более высоких степеней пренебрегаем. Обозначив положительный коэффициент $E''(0)$ просто как $k,$ получаем формулу $$E(x)=\frac{1}{2}\,kx^2.$$ Такой подход годится для многих механических систем, у которых отклонения от положения равновесия удаётся описывать некоторой переменной $x$ (бывает даже, что и многокомпонентной: $x_1,x_2,...,x_N),$ причём в положении равновесия $E''(0)>0.$ В задачах о колебаниях такое приближение называют гармоническим. С ростом амплитуды колебаний может оказаться важным учёт и более высоких степеней $x$ - учёт ангармонизма; тогда при малом ангармонизме учитывают один или два члена ряда для $E(x),$ следующих за квадратичным.

Аналогично можно "феноменологически вывести" и остальные формулы.

Например, выражение $$E=\frac{1}{2}\,mv^2=\frac{1}{2}\,m\,(v_x^2+v_y^2+v_z^2)$$ яляется первым неисчезающим приближением для положительной по определению функции $E(v_x,v_y,v_z),$ предназначенной для описания зависимости энергии от скорости материальной точки, получающееся разложением в ряд по степеням аргументов $v_x,v_y,v_z$ с учётом их равноправия. Ведь пространство изотропно, поэтому $v_x^2,v_y^2,v_z^2$ должны входить в ответ с одним и тем же коэффициентом; этот коэффициент обозначили как $m/2,$ и $m$ назвали массой. Кроме того, здесь предполагается, что энергия покоя равна нулю: $E=0$ при равной нулю скорости.

Теоретически вычислять массы $m$ тел (как и вычислять жёсткости $k$ пружин) по модельным картинам внутреннего устройства вещества (т.е. вдумываясь в молекулы и атомы с их ядрами и электронами внутри тел) - очень сложная задача "микроскопической теории". Поэтому "феноменологическая теория" говорит нам: поступим проще - попробуем пока описать на языке математики лишь основные черты интересующего феномена. Феноменологическая наука лишь выявляет и обозначает те важные величины, которые потом старается вычислить "микроскопическая теория", которые будет измерять экспериментатор, и затем будут применять в инженерных расчётах разработчики техники.

В задачах релятивистской механики учитывают и ненулевое значение энергии покоя $E=mc^2$ при $v_x=v_y=v_z=0,$ и более высокие степени величины $v^2.$ Вот знаменитая точная формула из специальной теории относительности (СТО) и её представление степенным рядом: $$E(v) = \dfrac{mc^2}{\sqrt{1-(v/c)^2}} = mc^2\cdot \left ( 1+\dfrac{1}{2}\dfrac{v^2}{c^2}+\dfrac{3}{8}\dfrac{v^4}{c^4}+... \right ) = mc^2 + \dfrac{mv^2}{2} +\dfrac{3mv^4}{8c^2}+...\, ,$$ где $v^2=v_x^2+v_y^2+v_z^2.$


Формула для энергии $E(i)=(L/2)i^2$ катушки с током $i$ тоже аналогична формуле $E(x).$ Физически она обоснована тем, что магнитное поле, создаваемое током в вакууме, пропорционально первой степени тока, а плотность энергии магнитного поля пропорциональна магнитному полю во второй степени. Получается, что энергия магнитного поля, запасаемая катушкой с током, сколь бы сложной ни была конфигурация распределения этой энергии по пространству внутри катушки и вокруг неё, пропорциональна $i^2.$ Коэффициент пропорциональности обозначили просто как $L/2,$ и $L$ назвали индуктивностью. Точно вычислить индуктивность для катушек сложной формы, да к тому же, может быть, с разными сердечниками, - трудная задача, на этом можно застрять надолго. А обозначить буквой $L$ - просто; обозначили, и двинулись дальше спокойненько изучать свойства электрических цепей.

Добавки к формуле $(L/2)i^2$ более высоких степеней по $i$ возможны (пусть и очень маленькие, почти незаметные в каких-то случаях) - они возникают из-за изменения индуктивности под действием сильного магнитного поля при большой величине тока. Например, с увеличением поля изменяется магнитная проницаемость сердечника, если он есть, или магнитные свойства каркаса катушки, или каркас деформируется (сильное поле катушку "распирает", а индуктивность ведь зависит от размеров катушки).


О формуле для энергии $E(U)=(C/2)U^2$ конденсатора можно сказать всё то же по аналогии. Вместо тока $i$ здесь в роли переменной $x$ для функции $E(x)$ выступает разность потенциалов $U.$ Величине $U$ пропорциональна напряжённость электрического поля в конденсаторе, а плотность энергии электрического поля пропорциональна напряжённости поля во второй степени. Поэтому энергия электрического поля, запасаемая конденсатором, пропорциональна $U^2.$ Коэффициент пропорциональности обозначили как $C/2,$ и $C$ назвали ёмкостью конденсатора - так на это дело можно смотреть с феноменологической точки зрения. Поправки более высоких степеней, в принципе, существуют и здесь - из-за изменения $C$ в сильном поле вследствие зависимости от поля диэлектрической проницаемости диэлектрика между обкладками, или из-за его деформации.

Вообще, на мой взгляд, топикстартер хороший вопрос задал. Сравнивать уравнения (и конечно, обдумывать их при этом, подмечать аналогии) из разных областей физики - поучительное занятие. Из указанных выше формул ещё можно извлечь некоторые аналогии между "уравнениями движения" (дифференциальными уравнениями), которые получаются при дифференцировании выражений для энергии по времени.

 Профиль  
                  
 
 Re: Якобы схожесть формул (но это неточно)
Сообщение26.04.2023, 19:57 


17/10/16
3403

(Оффтоп)

Cos(x-pi/2)
Тут еще нужно потребовать разложимости в ряд. Иначе ничего не мешает предположить, что, скажем, $E\propto \left\lvert x\right\rvert$

 Профиль  
                  
 
 Re: Якобы схожесть формул (но это неточно)
Сообщение26.04.2023, 20:28 
Заслуженный участник


29/09/14
1073
sergey zhukov в сообщении #1591287 писал(а):
Тут еще нужно потребовать разложимости в ряд. Иначе ничего не мешает предположить, что, скажем, $E\propto \left\lvert x\right\rvert$
Формально да, но тем физика и отличается от чистой математики, что в физике всегда рассматриваются физически приемлемые ситуации и соответственно физике выбирается математическое описание. Возможность описания степенными слагаемыми с целыми положительными степенями подразумевается в физике всегда, если нет веских оснований для какой-то неаналитичности.

Например, в физике фазовых переходов заведомо можно ожидать неаналитичности по температуре, типа $|T_c - T|^\alpha,$ так как $T_c$ это особая точка: в ней меняется фазовое состояние вещества.

А в случае пружины (и в остальных упомянутых примерах) $x=0$ - заведомо никакая не особая точка. Предполагать ни с того ни с сего неаналитичность упомянутых функций $E(x)$ при малых $x$ было бы с точки зрения физики ошибкой.

Короче говоря, формально Вы правы: при тщательном изложении наверное надо бы в первую очередь написать то, что я сейчас тут написал. Но всё-таки подчеркну: феноменологическая теория в физике это не раздел математики, а именно физика. Если физик пишет ряд, то тем самым физик уже автоматически подразумевает, что эта запись имеет определённый смысл в данной физической задаче; если пишет интеграл, то подразумевает, что интеграл хоть как-то можно вычислить (хоть в каком-то пределе, хоть с какой-то регуляризацией - и тогда об этом будет сказано явно); если пишет производные, то подразумевает, что и они имеют смысл в данном физическом контексте.

 Профиль  
                  
 
 Re: Якобы схожесть формул (но это неточно)
Сообщение26.04.2023, 21:09 


17/10/16
3403
Cos(x-pi/2)
Я тоже так считаю, конечно. Предполагать разрывность без явных физических причин - это глупо. Такой феноменологический подход, например, относительно закона $F(x)$ для пружины приводит к следующему:

1. При $x=0$ $F(x)$ должен быть равен нулю (очевидно);
2. $F(x)$ должен быть гладким (нет физических причин для обратного);
3. $F(x)$ должен быть отрицательным для $x>0$ и положительным для $x<0$;
4. $F(x)$ при достаточно малом $\Delta x$ должен быть линейным (при действительно достаточно малом $\Delta x$ ничего другого просто не остается).

Отсюда следует закон Гука: $F(x)$ - прямая, проходящая через ноль.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 17 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group