Якобы схожесть формул (но это неточно)

[parameda]

В общем решая задачи заметил одну странную деталь в формулах где надо найти энергию

$E=\frac{mv^2}{2}$(Кинетическая)

$E=\frac{kx^2}{2}$(Маятника)

$E=\frac{CU^2}{2}$(Конденсатора)

$E=\frac{Li^2}{2}$(Катушки)

Вопрос: что между ними общего? Почему они так похоже и с чем это связано?

[ozheredov]

parameda в сообщении #1591139 писал(а):

Вопрос: что между ними общего?

Они все оформлены так, что дядя модератор сделает Вам а-та-та )))

parameda в сообщении #1591139 писал(а):

Почему они так похоже?

Потому что мы в Матрице.

[Ende]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Ende]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»
Причина переноса: не указана.

[sergey zhukov]

parameda
Это потому, что во всех этих случаях для нахождения энергии нужно проинтегрировать выражения, соответственно, $mudu$, $kxdx$, $CUdU$ и $Lidi$. Проще всего это понять для второго случая: сила $F=kx$ прямо пропорциональна перемещению $x$, а элементарная работа силы по определению равна $dA=Fdx$. Энергия - это интеграл работы, т.е. $E=\int\limits_{}^{}kxdx$. В общем, аналогично в остальных случаях.

Во всех этих случаях элементарная работа становится пропорционально все больше и больше с ростом соответствующей переменной. Работа силы по разгону тела на каждый следующий 1 м/сек пропорциональна самой скорости, работа силы по отклонению маятника на каждый следующий 1 см пропорциональна текущему положению маятника, работа по перенесению каждого следующего кулона заряда с одной пластины конденсатора на другую пропорциональна уже имеющемуся заряду и т.д. Т.е. "трудность" продолжать делать что-либо линейно возрастает пропорционально уже сделанному. Во всех этих случаях это так и есть, отсюда одинаковые формулы.

[wrest]

parameda в сообщении #1591139 писал(а):

Вопрос: что между ними общего?

Все они получаются из чего-то вроде $dA=kydy \to \int 1\cdot dA=k\int ydy \to A=k\dfrac{y^2}{2}$

[Osmiy]

Еще
$E=\frac{I w^2}{2}$ (Вращение)

[lel0lel]

(Оффтоп)

Всё уже сказали, замечу только, что в формуле $E=mc^2$, просто проинтегрировали с ошибкой)

[Osmiy]

(Оффтоп)

lel0lel в сообщении #1591189 писал(а):

Всё уже сказали, замечу только, что в формуле $E=mc^2$, просто проинтегрировали с ошибкой)

В таких случаях рекомендуется ставить не менее трёх скобочек в конце, чтобы наверняка.

[ozheredov]

lel0lel в сообщении #1591189 писал(а):

в формуле $E=mc^2$, просто проинтегрировали с ошибкой

Нет. Просто на ультра-релятивистских скоростях двойка становится единицей -- лоренцевский эффект сокращения

[sergey zhukov]

(Оффтоп)

Я в свое время тоже искал причину того, почему же $E=mc^2$, а не $E=m\frac{c^2}{2}$? Как-то представлялось, что в пространстве-времени все тела имеют кроме скорости в пространстве еще и "скорость во времени". Для неподвижного тела "скорость во времени" должна быть равна, очевидно, $c$.

Тогда я решил эту загадку таким "рассуждением": поскольку ни одно тело не было разогнано до скорости $c$ во времени, но всегда изначально ее имеет, то при интегрировании выражения $mudu$ (где $u$ - "скорость во времени") от нуля до $c$ нужно искать не площадь треугольника со катетами $c$ (т.е. $\frac{c^2}{2}$), а площадь квадрата (т.е. $c^2$). Что-то вроде такого хитрого разгона, что скорость все время остается максимальной, а не нарастает постепенно.

Все это чушь, конечно. Но мне казалось тогда, что отсутствие двойки требует настоятельного объяснения.

Вообще, типично для многих (и для меня в том числе) взять результат какого-то приближения (динамки Ньютона, скажем) и искать от него логически строгий путь к точному результату (релятивистская динамика). Хотя ясно, что от точного результата к приближению такой путь, очевидно, всегда есть. Но наоборот его быть не может. Максимум, что можно получить наоборот - это подгонка, которая сопровождается подгоночными "объяснениями".

[Cos(x-pi/2)]

(Феноменологический подход)

Каждую из упоминавшихся формул для $E$ можно понимать просто как приближенное выражение для зависимости энергии $E(x)$ от соответствующего аргумента $x,$ которое "выводится" феноменологически из разложения функции $E(x)$ в ряд по степеням $x$ c учётом нескольких физических условий.

Например, пусть переменная $x$ описывает малую деформацию пружины, т.е. увеличение или уменьшение длины: $x>0$ при увеличении, $x<0$ - при уменьшении длины пружины. Энергию деформации пружины $E(x)$ запишем в виде ряда по степеням $x$ (штрих означает взятие производной):

$$E(x)=E(0)+E'(0)\,x+\frac{1}{2}E''(0)\,x^2+...$$

и учтем требования, естественные с точки зрения физики, которым должна подчиняться эта функция. А именно учтём, во-первых, что энергию деформации недеформированной пружины (т.е. $E(x)$ при $x=0)$ можно считать равной нулю:

$$E(0)=0.$$

Во-вторых, считаем, что энергия деформации пружины должна быть по определению положительной как при растяжении, так и при сжатии, т.е. и при $x>0$ и при $x<0.$ Следовательно, нечётное по $x$ слагаемое $E'(0)\,x$ должно отсутствовать, т.е. должно быть

$$E'(0)=0.$$

В-третьих, в задачах только с малой деформацией ограничиваемся только первым неисчезающим слагаемым (у нас это квадратичный вклад $\frac{1}{2}E''(0)\,x^2),$ а всеми членами ряда более высоких степеней пренебрегаем. Обозначив положительный коэффициент $E''(0)$ просто как $k,$ получаем формулу

$$E(x)=\frac{1}{2}\,kx^2.$$

Такой подход годится для многих механических систем, у которых отклонения от положения равновесия удаётся описывать некоторой переменной $x$ (бывает даже, что и многокомпонентной: $x_1,x_2,...,x_N),$ причём в положении равновесия $E''(0)>0.$ В задачах о колебаниях такое приближение называют гармоническим. С ростом амплитуды колебаний может оказаться важным учёт и более высоких степеней $x$ - учёт ангармонизма; тогда при малом ангармонизме учитывают один или два члена ряда для $E(x),$ следующих за квадратичным.

Аналогично можно "феноменологически вывести" и остальные формулы.

Например, выражение

$$E=\frac{1}{2}\,mv^2=\frac{1}{2}\,m\,(v_x^2+v_y^2+v_z^2)$$

яляется первым неисчезающим приближением для положительной по определению функции $E(v_x,v_y,v_z),$ предназначенной для описания зависимости энергии от скорости материальной точки, получающееся разложением в ряд по степеням аргументов $v_x,v_y,v_z$ с учётом их равноправия. Ведь пространство изотропно, поэтому $v_x^2,v_y^2,v_z^2$ должны входить в ответ с одним и тем же коэффициентом; этот коэффициент обозначили как $m/2,$ и $m$ назвали массой. Кроме того, здесь предполагается, что энергия покоя равна нулю: $E=0$ при равной нулю скорости.

Теоретически вычислять массы $m$ тел (как и вычислять жёсткости $k$ пружин) по модельным картинам внутреннего устройства вещества (т.е. вдумываясь в молекулы и атомы с их ядрами и электронами внутри тел) - очень сложная задача "микроскопической теории". Поэтому "феноменологическая теория" говорит нам: поступим проще - попробуем пока описать на языке математики лишь основные черты интересующего феномена. Феноменологическая наука лишь выявляет и обозначает те важные величины, которые потом старается вычислить "микроскопическая теория", которые будет измерять экспериментатор, и затем будут применять в инженерных расчётах разработчики техники.

В задачах релятивистской механики учитывают и ненулевое значение энергии покоя $E=mc^2$ при $v_x=v_y=v_z=0,$ и более высокие степени величины $v^2.$ Вот знаменитая точная формула из специальной теории относительности (СТО) и её представление степенным рядом:

$$E(v) = \dfrac{mc^2}{\sqrt{1-(v/c)^2}} = mc^2\cdot \left ( 1+\dfrac{1}{2}\dfrac{v^2}{c^2}+\dfrac{3}{8}\dfrac{v^4}{c^4}+... \right ) = mc^2 + \dfrac{mv^2}{2} +\dfrac{3mv^4}{8c^2}+...\, ,$$

где $v^2=v_x^2+v_y^2+v_z^2.$


Формула для энергии $E(i)=(L/2)i^2$ катушки с током $i$ тоже аналогична формуле $E(x).$ Физически она обоснована тем, что магнитное поле, создаваемое током в вакууме, пропорционально первой степени тока, а плотность энергии магнитного поля пропорциональна магнитному полю во второй степени. Получается, что энергия магнитного поля, запасаемая катушкой с током, сколь бы сложной ни была конфигурация распределения этой энергии по пространству внутри катушки и вокруг неё, пропорциональна $i^2.$ Коэффициент пропорциональности обозначили просто как $L/2,$ и $L$ назвали индуктивностью. Точно вычислить индуктивность для катушек сложной формы, да к тому же, может быть, с разными сердечниками, - трудная задача, на этом можно застрять надолго. А обозначить буквой $L$ - просто; обозначили, и двинулись дальше спокойненько изучать свойства электрических цепей.

Добавки к формуле $(L/2)i^2$ более высоких степеней по $i$ возможны (пусть и очень маленькие, почти незаметные в каких-то случаях) - они возникают из-за изменения индуктивности под действием сильного магнитного поля при большой величине тока. Например, с увеличением поля изменяется магнитная проницаемость сердечника, если он есть, или магнитные свойства каркаса катушки, или каркас деформируется (сильное поле катушку "распирает", а индуктивность ведь зависит от размеров катушки).


О формуле для энергии $E(U)=(C/2)U^2$ конденсатора можно сказать всё то же по аналогии. Вместо тока $i$ здесь в роли переменной $x$ для функции $E(x)$ выступает разность потенциалов $U.$ Величине $U$ пропорциональна напряжённость электрического поля в конденсаторе, а плотность энергии электрического поля пропорциональна напряжённости поля во второй степени. Поэтому энергия электрического поля, запасаемая конденсатором, пропорциональна $U^2.$ Коэффициент пропорциональности обозначили как $C/2,$ и $C$ назвали ёмкостью конденсатора - так на это дело можно смотреть с феноменологической точки зрения. Поправки более высоких степеней, в принципе, существуют и здесь - из-за изменения $C$ в сильном поле вследствие зависимости от поля диэлектрической проницаемости диэлектрика между обкладками, или из-за его деформации.

Вообще, на мой взгляд, топикстартер хороший вопрос задал. Сравнивать уравнения (и конечно, обдумывать их при этом, подмечать аналогии) из разных областей физики - поучительное занятие. Из указанных выше формул ещё можно извлечь некоторые аналогии между "уравнениями движения" (дифференциальными уравнениями), которые получаются при дифференцировании выражений для энергии по времени.

[sergey zhukov]

(Оффтоп)

Cos(x-pi/2)
Тут еще нужно потребовать разложимости в ряд. Иначе ничего не мешает предположить, что, скажем, $E\propto \left\lvert x\right\rvert$

[Cos(x-pi/2)]

sergey zhukov в сообщении #1591287 писал(а):

Тут еще нужно потребовать разложимости в ряд. Иначе ничего не мешает предположить, что, скажем, $E\propto \left\lvert x\right\rvert$

Формально да, но тем физика и отличается от чистой математики, что в физике всегда рассматриваются физически приемлемые ситуации и соответственно физике выбирается математическое описание. Возможность описания степенными слагаемыми с целыми положительными степенями подразумевается в физике всегда, если нет веских оснований для какой-то неаналитичности.

Например, в физике фазовых переходов заведомо можно ожидать неаналитичности по температуре, типа $|T_c - T|^\alpha,$ так как $T_c$ это особая точка: в ней меняется фазовое состояние вещества.

А в случае пружины (и в остальных упомянутых примерах) $x=0$ - заведомо никакая не особая точка. Предполагать ни с того ни с сего неаналитичность упомянутых функций $E(x)$ при малых $x$ было бы с точки зрения физики ошибкой.

Короче говоря, формально Вы правы: при тщательном изложении наверное надо бы в первую очередь написать то, что я сейчас тут написал. Но всё-таки подчеркну: феноменологическая теория в физике это не раздел математики, а именно физика. Если физик пишет ряд, то тем самым физик уже автоматически подразумевает, что эта запись имеет определённый смысл в данной физической задаче; если пишет интеграл, то подразумевает, что интеграл хоть как-то можно вычислить (хоть в каком-то пределе, хоть с какой-то регуляризацией - и тогда об этом будет сказано явно); если пишет производные, то подразумевает, что и они имеют смысл в данном физическом контексте.

[sergey zhukov]

Cos(x-pi/2)
Я тоже так считаю, конечно. Предполагать разрывность без явных физических причин - это глупо. Такой феноменологический подход, например, относительно закона $F(x)$ для пружины приводит к следующему:

1. При $x=0$ $F(x)$ должен быть равен нулю (очевидно);
2. $F(x)$ должен быть гладким (нет физических причин для обратного);
3. $F(x)$ должен быть отрицательным для $x>0$ и положительным для $x<0$;
4. $F(x)$ при достаточно малом $\Delta x$ должен быть линейным (при действительно достаточно малом $\Delta x$ ничего другого просто не остается).

Отсюда следует закон Гука: $F(x)$ - прямая, проходящая через ноль.