Каждую из упоминавшихся формул для
![$E$ $E$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/4/d/84df98c65d88c6adf15d4645ffa25e4782.png)
можно понимать просто как приближенное выражение для зависимости энергии
![$E(x)$ $E(x)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/d/c/0dc5590ba457f7e2998c0ed49ab7b31f82.png)
от соответствующего аргумента
![$x,$ $x,$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/8/0/380aab7befb490c9e8b8027e557ed54582.png)
которое "выводится" феноменологически из разложения функции
![$E(x)$ $E(x)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/d/c/0dc5590ba457f7e2998c0ed49ab7b31f82.png)
в ряд по степеням
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
c учётом нескольких физических условий.
Например, пусть переменная
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
описывает малую деформацию пружины, т.е. увеличение или уменьшение длины:
![$x>0$ $x>0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/b/9/eb9b46f46cfcebc82f6f2be2576597cb82.png)
при увеличении,
![$x<0$ $x<0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/1/6/516da008f19b9451de2b30b3f59bbb4282.png)
- при уменьшении длины пружины. Энергию деформации пружины
![$E(x)$ $E(x)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/d/c/0dc5590ba457f7e2998c0ed49ab7b31f82.png)
запишем в виде ряда по степеням
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
(штрих означает взятие производной):
![$$E(x)=E(0)+E'(0)\,x+\frac{1}{2}E''(0)\,x^2+...$$ $$E(x)=E(0)+E'(0)\,x+\frac{1}{2}E''(0)\,x^2+...$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/e/d/9edfc7a2c82cf0bd4bd7dce38f6d630e82.png)
и учтем требования, естественные с точки зрения физики, которым должна подчиняться эта функция. А именно учтём, во-первых, что энергию деформации недеформированной пружины (т.е.
![$E(x)$ $E(x)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/d/c/0dc5590ba457f7e2998c0ed49ab7b31f82.png)
при
![$x=0)$ $x=0)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/c/7/cc75ed9444a223efc48b8bcbeb17304582.png)
можно считать равной нулю:
![$$E(0)=0.$$ $$E(0)=0.$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/8/0/28065a0c358c5da64ea5ecbfbb7a6c2b82.png)
Во-вторых, считаем, что энергия деформации пружины должна быть по определению положительной как при растяжении, так и при сжатии, т.е. и при
![$x>0$ $x>0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/b/9/eb9b46f46cfcebc82f6f2be2576597cb82.png)
и при
![$x<0.$ $x<0.$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/d/c/bdcd5a81e8cf0fd1ca80a514455bee7f82.png)
Следовательно, нечётное по
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
слагаемое
![$E'(0)\,x$ $E'(0)\,x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/9/9/b998292d4049e518d82306b2223dece282.png)
должно отсутствовать, т.е. должно быть
![$$E'(0)=0.$$ $$E'(0)=0.$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/0/c/60c2046ccb5aa475b0b39ca8dfe5149a82.png)
В-третьих, в задачах только с малой деформацией ограничиваемся только первым неисчезающим слагаемым (у нас это квадратичный вклад
![$\frac{1}{2}E''(0)\,x^2),$ $\frac{1}{2}E''(0)\,x^2),$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/3/553c791150181dd4eb2b84debfe9c2de82.png)
а всеми членами ряда более высоких степеней пренебрегаем. Обозначив положительный коэффициент
![$E''(0)$ $E''(0)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/5/7/657103bdb8217c2cffbfa1168ff0103382.png)
просто как
![$k,$ $k,$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/0/2/902e83fb24d54487d5ceebd041639ffb82.png)
получаем формулу
![$$E(x)=\frac{1}{2}\,kx^2.$$ $$E(x)=\frac{1}{2}\,kx^2.$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/2/a/62a0534aaf6df181fbefba718e8734d982.png)
Такой подход годится для многих механических систем, у которых отклонения от положения равновесия удаётся описывать некоторой переменной
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
(бывает даже, что и многокомпонентной:
![$x_1,x_2,...,x_N),$ $x_1,x_2,...,x_N),$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/b/1/eb1964dcdc5eb43dbcfed7efe5d906c082.png)
причём в положении равновесия
![$E''(0)>0.$ $E''(0)>0.$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/c/0/4c078a8b40fe274f01b09aa24f76287782.png)
В задачах о колебаниях такое приближение называют гармоническим. С ростом амплитуды колебаний может оказаться важным учёт и более высоких степеней
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
- учёт ангармонизма; тогда при малом ангармонизме учитывают один или два члена ряда для
![$E(x),$ $E(x),$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/8/6/286cb883a92a5d7a7b119c3d32716ceb82.png)
следующих за квадратичным.
Аналогично можно "феноменологически вывести" и остальные формулы.
Например, выражение
![$$E=\frac{1}{2}\,mv^2=\frac{1}{2}\,m\,(v_x^2+v_y^2+v_z^2)$$ $$E=\frac{1}{2}\,mv^2=\frac{1}{2}\,m\,(v_x^2+v_y^2+v_z^2)$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/7/c/b7c98b2d2f45a555d420fc6c88bf6e8a82.png)
яляется первым неисчезающим приближением для положительной по определению функции
![$E(v_x,v_y,v_z),$ $E(v_x,v_y,v_z),$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/c/f/3cfe446c03c6e6b065af191e7b2b2aef82.png)
предназначенной для описания зависимости энергии от скорости материальной точки, получающееся разложением в ряд по степеням аргументов
![$v_x,v_y,v_z$ $v_x,v_y,v_z$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/0/f/c0f9d425e93e6178f158c2aa2076f0a482.png)
с учётом их равноправия. Ведь пространство изотропно, поэтому
![$v_x^2,v_y^2,v_z^2$ $v_x^2,v_y^2,v_z^2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/4/c/f4cfc09c12445c5ce5e439a005426d2082.png)
должны входить в ответ с одним и тем же коэффициентом; этот коэффициент обозначили как
![$m/2,$ $m/2,$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/d/6/cd60a91908f140aa889e30c0885349cc82.png)
и
![$m$ $m$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/e/5/0e51a2dede42189d77627c4d742822c382.png)
назвали массой. Кроме того, здесь предполагается, что энергия покоя равна нулю:
![$E=0$ $E=0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/0/c/60c2f74aaa6903c0b07ec9c7b68b03a482.png)
при равной нулю скорости.
Теоретически вычислять массы
![$m$ $m$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/e/5/0e51a2dede42189d77627c4d742822c382.png)
тел (как и вычислять жёсткости
![$k$ $k$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/3/b/63bb9849783d01d91403bc9a5fea12a282.png)
пружин) по модельным картинам внутреннего устройства вещества (т.е. вдумываясь в молекулы и атомы с их ядрами и электронами внутри тел) - очень сложная задача "микроскопической теории". Поэтому "феноменологическая теория" говорит нам: поступим проще - попробуем пока описать на языке математики лишь основные черты интересующего феномена. Феноменологическая наука лишь выявляет и обозначает те важные величины, которые потом старается вычислить "микроскопическая теория", которые будет измерять экспериментатор, и затем будут применять в инженерных расчётах разработчики техники.
В задачах релятивистской механики учитывают и ненулевое значение энергии покоя
![$E=mc^2$ $E=mc^2$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/c/b/ccb175704c18ad5a81177f1274fcd39f82.png)
при
![$v_x=v_y=v_z=0,$ $v_x=v_y=v_z=0,$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/f/9/bf98a8058d4cbe65f7f81a722b54b85382.png)
и более высокие степени величины
![$v^2.$ $v^2.$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/1/3/d1346cc21ee2754b1e9112bf0445f84a82.png)
Вот знаменитая точная формула из специальной теории относительности (СТО) и её представление степенным рядом:
![$$E(v) = \dfrac{mc^2}{\sqrt{1-(v/c)^2}} = mc^2\cdot \left ( 1+\dfrac{1}{2}\dfrac{v^2}{c^2}+\dfrac{3}{8}\dfrac{v^4}{c^4}+... \right ) = mc^2 + \dfrac{mv^2}{2} +\dfrac{3mv^4}{8c^2}+...\, ,$$ $$E(v) = \dfrac{mc^2}{\sqrt{1-(v/c)^2}} = mc^2\cdot \left ( 1+\dfrac{1}{2}\dfrac{v^2}{c^2}+\dfrac{3}{8}\dfrac{v^4}{c^4}+... \right ) = mc^2 + \dfrac{mv^2}{2} +\dfrac{3mv^4}{8c^2}+...\, ,$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/4/5/645454cc934026ee9ac6b4bbb048f14a82.png)
где
![$v^2=v_x^2+v_y^2+v_z^2.$ $v^2=v_x^2+v_y^2+v_z^2.$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/1/2/b12e97ae05ab13f296954d28159fa03682.png)
Формула для энергии
![$E(i)=(L/2)i^2$ $E(i)=(L/2)i^2$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/9/d/29dbfca7e6419c6c60bd3e893c18162a82.png)
катушки с током
![$i$ $i$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/7/a/77a3b857d53fb44e33b53e4c8b68351a82.png)
тоже аналогична формуле
![$E(x).$ $E(x).$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/7/3/473b1fc12ac39af5e0e6ed3edd9ef91b82.png)
Физически она обоснована тем, что магнитное поле, создаваемое током в вакууме, пропорционально первой степени тока, а плотность энергии магнитного поля пропорциональна магнитному полю во второй степени. Получается, что энергия магнитного поля, запасаемая катушкой с током, сколь бы сложной ни была конфигурация распределения этой энергии по пространству внутри катушки и вокруг неё, пропорциональна
![$i^2.$ $i^2.$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/1/c/01cf9f96da76a4ff80bbc8acf9c3b37f82.png)
Коэффициент пропорциональности обозначили просто как
![$L/2,$ $L/2,$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/1/a/41ad3a46fff3f95dd7f4c01b60ca246682.png)
и
![$L$ $L$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/d/c/ddcb483302ed36a59286424aa5e0be1782.png)
назвали индуктивностью. Точно вычислить индуктивность для катушек сложной формы, да к тому же, может быть, с разными сердечниками, - трудная задача, на этом можно застрять надолго. А обозначить буквой
![$L$ $L$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/d/c/ddcb483302ed36a59286424aa5e0be1782.png)
- просто; обозначили, и двинулись дальше спокойненько изучать свойства электрических цепей.
Добавки к формуле
![$(L/2)i^2$ $(L/2)i^2$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/6/7/9677dd30185042145b59a2b0b08f06dd82.png)
более высоких степеней по
![$i$ $i$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/7/a/77a3b857d53fb44e33b53e4c8b68351a82.png)
возможны (пусть и очень маленькие, почти незаметные в каких-то случаях) - они возникают из-за изменения индуктивности под действием сильного магнитного поля при большой величине тока. Например, с увеличением поля изменяется магнитная проницаемость сердечника, если он есть, или магнитные свойства каркаса катушки, или каркас деформируется (сильное поле катушку "распирает", а индуктивность ведь зависит от размеров катушки).
О формуле для энергии
![$E(U)=(C/2)U^2$ $E(U)=(C/2)U^2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/1/6/f16bd5decd3e053043805891dec46cca82.png)
конденсатора можно сказать всё то же по аналогии. Вместо тока
![$i$ $i$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/7/a/77a3b857d53fb44e33b53e4c8b68351a82.png)
здесь в роли переменной
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
для функции
![$E(x)$ $E(x)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/d/c/0dc5590ba457f7e2998c0ed49ab7b31f82.png)
выступает разность потенциалов
![$U.$ $U.$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/0/3/e03ee7a8552082d4205c168648a62dbf82.png)
Величине
![$U$ $U$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/b/a/6bac6ec50c01592407695ef84f45723282.png)
пропорциональна напряжённость электрического поля в конденсаторе, а плотность энергии электрического поля пропорциональна напряжённости поля во второй степени. Поэтому энергия электрического поля, запасаемая конденсатором, пропорциональна
![$U^2.$ $U^2.$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/7/5/575675e6ef2f72b07934530dbb8873c182.png)
Коэффициент пропорциональности обозначили как
![$C/2,$ $C/2,$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/0/d/10db25014fb162155be3164d9992022382.png)
и
![$C$ $C$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/b/3/9b325b9e31e85137d1de765f43c0f8bc82.png)
назвали ёмкостью конденсатора - так на это дело можно смотреть с феноменологической точки зрения. Поправки более высоких степеней, в принципе, существуют и здесь - из-за изменения
![$C$ $C$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/b/3/9b325b9e31e85137d1de765f43c0f8bc82.png)
в сильном поле вследствие зависимости от поля диэлектрической проницаемости диэлектрика между обкладками, или из-за его деформации.
Вообще, на мой взгляд, топикстартер хороший вопрос задал. Сравнивать уравнения (и конечно, обдумывать их при этом, подмечать аналогии) из разных областей физики - поучительное занятие. Из указанных выше формул ещё можно извлечь некоторые аналогии между "уравнениями движения" (дифференциальными уравнениями), которые получаются при дифференцировании выражений для энергии по времени.