Задача оптимального управления

[kitnone]

максимизировать

$$\int_0^T (x^2-4x) dt$$

при

$$\frac{dx}{dt} = u\quad x(0) =0\quad x(T) free \quad u\in[0,1] $$

Ответ из книги:
для $\quad T \leq 6\quad u^*=0$
для $\quad 6 \leq T\quad u^*=1$

Начал решать:
Гамильтониан:

$$H=x^2-4x+\psi u$$

$$u^* = argmax(H); \quad u^*=0 \quad \psi<0; \quad u^*=1 \quad \psi>0; \quad u^* \in [0, 1] \quad \psi=0$$

Сопряженная система

$$d\psi/dt = -2x+4 \quad \psi(T)=0$$

Есть разные случаи:
1. $u^*=1, \psi>0$
тогда

$$x^*(t)=t, \psi'=-2t+4,\quad \psi =-t^2+4t+T^2-4T>0$$

$$(T - t) (t + T - 4)>0$$

2. $u^*=0, \psi<0$
тогда

$$x^*(t)=0, \psi'=4, \quad \psi =4t-4T<0$$

$$t<T$$

3. $\psi=0$
тогда

$$\psi' = 0\quad x(t) = 2\quad u(t) = 0$$

Как действовать дальше?
Не вполне понимаю как выйти на книжный ответ. Не понимаю откуда автор достает $T = 6$. Даже если просто глазами посмотреть на траектории созданные управлениями

$$x^* = 0 \quad x^* = t$$

, то кажется что максимизировать интеграл можно, взяв для $t \in [0,4] u^*=0$, а затем $u^*=1$, то есть точка переключения должна быть (а в книжном ответе ее нету, управления константны и не зависят от $t$, зависят только от верхнего предела интегрирования $T$). Хотя могли и в книге ошибиться.

[ShMaxG]

kitnone в сообщении #1590792 писал(а):

Есть разные случаи:

А что это за случаи такие? Функция $\psi$ может быть в принципе на одних участках положительной, на других - отрицательной. Она не обязана быть постоянной всюду. Я бы рассмотрел бы несколько таких случаев: $\psi(0)>0$, $\psi(0)=0$, $\psi(0)<0$ и изучал бы поведение $x(t)$, $u(t)$, $\psi(t)$ в зависимости от них. Какие-то случаи наверное пропадут, так как войдут в противоречие с $\psi(T)=0$. Все функции тут - постоянные, линейные или квадратичные, в принципе не сложный анализ должен быть.

[Doctor Boom]

Задачка вообще какая-то устная, решается сразу в уме. Вот у нас есть данная парабола, по оси абцисс ездит точка со скоростью от нуля до единицы, и считывает мгновенную ординату параболы. Надо минимизировать интеграл этих считываний по времени. Очевидно, что если точка начнет движение, то интеграл будет становиться отрицательным, так что до какого-то времени ей будет выгодно оставаться в нуле (т.е. иметь нулевую скорость). Второй вариант, что точка должна на максимальной скорости проскочить отрицательную часть параболы, и на такой же максимальной скорости двигаться на ее положительной части, т.к. парабола растет. Это вариант после какого-то времени