Берем

, заменяем любое

на

, если при любых заменах не изменяется, значит

неподвижная точка
Вы, кажется, неправильно понимаете, что значит термин "неподвижная точка". Выражение "берем и заменяем" --- это не описание какого-то отображения. Впрочем, тут неподвижные точки вообще ни при чем.
А вы не могли бы привести пример, где данные рассуждения некорректны, а максимум не в этой точке?
Такой пример я знаю. Рассмотрим функцию

. Легко видеть, что существует такая точка

, что

при всех

, и

при всех

. А именно,

. Причем такая точка ровно одна. Но это не точка глобального и даже локального минимума.