2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Доказать отсутствие равномерной сходимости ряда
Сообщение19.04.2023, 22:25 


14/02/20
872
Нужно доказать отсутствие равномерной сходимости ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac 1{\sqrt {nx}}\ln\frac {2x+n}{x+n}$ на $E=(1,+\infty)$

Я доказал, и в целом не так уж и сложно, но все же существенно сложнее, чем большинство задач такого типа (это задача из Кудрявцева). Может быть, кто-то подскажет идею, как можно проще доказать?

Мое док-во:

Пойдем по критерию Коши:

$\left|\sum\limits_{k=n}^{2n}\frac 1{\sqrt {kx}}\ln\frac {2x+k}{x+k}\right|=${подставим $x=n$}$=\sum\limits_{k=n}^{2n}\frac 1{\sqrt {nk}}\ln\frac {2n+k}{n+k}=\sum\limits_{k=n}^{2n}\frac 1{\sqrt {nk}}\ln\left(1+\frac n {n+k}\right)>${замечаем, что под суммой стоит выражение, убывающее по $k$, и заменяем каждое слагаемое на последнее}$>(n+1)\frac 1{n\sqrt 2}\ln\frac 43>\frac12\ln\frac43$

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать отсутствие равномерной сходимости ряда
Сообщение20.04.2023, 06:52 
Заслуженный участник


13/12/05
4673
Для любого фиксированного $N$ и для любого $p=1,2,\ldots$
$$
\sum\limits_{n=N+1}^{N+p}\frac {1}{\sqrt{nx}}\ln\frac{2x+n}{x+n}>p\cdot\frac{1}{\sqrt{(N+p)x}}\ln\frac{2x+N+p}{x+N+p}$$
Теперь положим $x=p$ и устремим $p$ к бесконечности. Последнее выражение устремится к $\ln\frac 32$. Значит, критерий Коши не выполнен.
Вообще, мы можем одновременно устремлять $N, x$ и $p$ к бесконечности, требуя какие-то соотношения между ними, подбирая которые можем добиться невыполнения критерия Коши (в других подобных примерах).
В Вашем док-ве по сути Вы взяли $N=x=p$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать отсутствие равномерной сходимости ряда
Сообщение20.04.2023, 09:17 


14/02/20
872
Padawan в сообщении #1590389 писал(а):
Вообще, мы можем одновременно устремлять $N, x$ и $p$ к бесконечности, требуя какие-то соотношения между ними, подбирая которые можем добиться невыполнения критерия Коши (в других подобных примерах).

Да, спасибо, хорошая идея! С пределами все же попроще работать, чем с цепочками неравенств...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Alex Krylov


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group