Группа, порождённая множеством

[Maxim19]

Здравствуйте, помогите пожалуйста доказать тот факт, что любой элемент группы, порождаемой множеством S выражается через композицию элементом из этого множества, или им обратных. Факт то вроде очевидный, но непонятно, как это можно докзаать. Просто сказать, что можно взять множество S и строить из него группу - наверное не очень. Не обязательно будет способ построить всю группу, вдруг например она бесконечна что-то нельзя выразить конечной композицией. Я уверен, что я какаю то идею пропустил. Подскажите, хотя вероятно сама задача на одну строку

-- 19.04.2023, 23:38 --

Ну или как-то из того факта, что если нельзя выразить через композицию элементов того множества, то и нельзя выразить обратное значение через композицию

-- 19.04.2023, 23:44 --

Я кажется доказал

-- 19.04.2023, 23:49 --

Пусть $G$ это группа, порождённая множеством $S$. Пусть $Z$ это группа, всё члены которой выражаются через композицию элементов $t_n$ которые принадлежат либо $S$ либо обратные которых принадлежат $S$. Это группа и она содержит $S$ Так как по определению порождающего множества все пересечения групп, содержащих $S$ включает G, то и любой элемент $g$ принадлежащий $G$, можно выразить через пересечение $Z$ с $G$ например. Я нормально доказал или что обычно требуется в таких заданиях?

[mihaild]

Примерно так, только концовка ("можно выразить через пересечение") странная. Лучше так: $Z$ это подгруппа, содержащая $S$, значит $G$ это подгруппа $Z$, значит все элементы $G$ принадлежат $Z$, значит их можно выразить.

[Maxim19]

А не слишком громоздко? Выглядит как: докажем теорему Пифагора по формуле $c^2=a^2+b^2$ или что-то такое

[mihaild]

Вроде нормальное. Стандартная конструкция: чтобы показать, что все элементы, принадлежащие замыканию, обладают некоторым свойством, достаточно показать, что множество элементов, обладающих этим свойством, замкнуто.