Абсолютно неизвестные константы

[kthxbye]

Пусть существует определенная комбинаторная интерпретация для некоторого числа $k$. Т.е. нам известно, что $k$ это константа, но установить чему оно равно не представлется возможным никакими способами. Вместе с тем, известны нижняя и верхняя границы для этого числа, а также можно доказать, что это лучшие границы, которые только можно получить.

Известно ли что-нибудь подобное современной математике?

[пианист]

Например, число, которое лежит в $(m, M)$, $m$ и $M$ заданы.

[kthxbye]

пианист в сообщении #1589873 писал(а):

Например, число, которое лежит в $(m, M)$, $m$ и $M$ заданы.

Извините, а почему не включительно? Кроме того, вы отвечаете на мой вопрос или же уточняете его? Если это ответ, то мне дополнительно хотелось бы узнать о кобинаторной интерпретации вашего числа и получить доказательство того, что заданные границы не могут быть улучшены.

[пианист]

Можно и включительно.
Видимо, я не понимаю, в чем заключается Ваш вопрос.
Что такое комбинаторная интерпретация, я не знаю.
Границы не могут быть улучшены, потому что о "моем" числе более ничего не известно.

[kthxbye]

пианист в сообщении #1589876 писал(а):

Видимо, я не понимаю, в чем заключается Ваш вопрос.
Что такое комбинаторная интерпретация, я не знаю.

Хорошо, давайте на каком-нибудь максимально близком примере. Возьмем числа Рамсея. Вот их комбинаторная интерпретация:

Цитата:

Для любых $c$ натуральных чисел $n_{1},n_{2},\cdots ,n_{c}$в любой $c$-цветной раскраске рёбер достаточно большого полного графа содержится полный подграф с $n_{i}$ вершинами для некоторого цвета $i$. В частности, для любых $r$ и $s$, достаточно большой полный граф двухцветной (чёрно-белой) раскраски, содержит либо полный чёрный подграф из $r$ вершин, либо полный белый подграф из $s$ вершин.

Минимальное число $R(r,s)$, при котором это выполнено, называют числом Рамсея.

Для этих чисел известны нижняя и верхняя границы, которые, вероятно, могут быть улучшены. Но даже и без этих границ мы можем установить значения чисел путем грубого перебора (пусть даже на это уйдут века).

Меня же интересует ситуация, в которой грубый перебор в лучшем случае свидетельствует о лучших границах. Ну а то, что они лучшие, как было упомянуто выше, определенным образом доказывается.

[mathematician123]

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Busy_beaver

Цитата:

In 2016, Adam Yedidia and Scott Aaronson obtained the first (explicit) upper bound on the minimum n for which Σ(n) is unprovable in ZFC. To do so they constructed a 7910-state[3] Turing machine whose behavior cannot be proven based on the usual axioms of set theory (Zermelo–Fraenkel set theory with the axiom of choice), under reasonable consistency hypotheses (stationary Ramsey property).[4][5] This was later reduced to 1919 states, with the dependency on the stationary Ramsey property eliminated,[6][7] and later to 748 states.[8]

Но здесь нельзя доказать оценку сверху.

[svv]

Задача Нелсона — Эрдёша — Хадвигера
В статье пишут:

Цитата:

Нетрудно доказать, что для раскраски плоскости требуется не менее 4 и не более 7 цветов, но дальше продвинуться не удавалось до 2018 года. При этом высказывались предположения, что ответ может зависеть от выбора аксиом теории множеств.

Ну и представьте, что действительно зависит. Подходит Вам такая ситуация?

[ИСН]

Число, у которого есть неулучшаемые границы, называется "диапазон чисел". Таких полно; интерпретацию им можно придумать по вкусу. А если есть основания полагать, что число одно, так уж оно одно, даже если в настоящее время его точное значение неизвестно. Таких тоже полно.

[venco]

Константа Хайтина, вроде, вполне подходит.

[zykov]

venco в сообщении #1590020 писал(а):

Константа Хайтина, вроде, вполне подходит.

Какая-то мутная константа.
Мало того что завист от языка программирования. Так ещё и количество програм бесконечно, так что нет "произвольно выбранной программы". Нужно как-то там задать распределение.

Если ТС спрашвал именно про целые числа, то вряд ли есть такое которое в принципе нельзя найти.
Как-то оно должно быть определено. Значит можно просто вести перебор, даже если это займет очень долго.

Если действительные числа тоже интересны, то вот например "Мера иррациональности".

Цитата:

Для почти всех трансцендентных чисел мера иррациональности равна 2. Хорошо известно, что $\mu \left(e\right)=2$, а также известны числа Лиувилля, которые по определению имеют бесконечную меру иррациональности. Однако для многих других трансцендентных констант мера иррациональности неизвестна, в лучшем случае известна некоторая оценка сверху.

Например для $\pi$ исзвестно только что $\mu \left(\pi \right)\leq 7.016045$.

[mihaild]

"Константа mihaild" $C_m$. Задается формулой $C_m = 42 \wedge \Box_{PA} \ulcorner\bot\urcorner \vee C_m = 666 \wedge \neg\Box_{PA} \ulcorner\bot\urcorner$.
В арифметике Пеано несложно доказывается, что эта формула действительно задает константу, и $42 \leq C_m \leq 666$. Но никакие лучшие оценки на эту константу доказать в PA нельзя.