Применение функции numol в Mathcad 15

[mr.daos]

Есть система из 3 УРЧП, пытаюсь их решить с помощью функции numol, но не могу исправить эту ошибку. И в целом вопрос: корректно ли она здесь применена?

[GAA]

numol предназначена для решения уравнений параболического типа и гиперболического (от одной пространственной переменной). Во втором случае уравнение должно быть заменено системой уравнений первого порядка.
Судя по приведенным на картинке выражениям $z$ играет роль пространственной переменной, а $r$ — времени.
Однако в задании правых частей уравнений 2 и 3 находятся вторые производные по $r$ (времени). Этого быть не может.

[mr.daos]

GAA в сообщении #1589394 писал(а):

Однако в задании правых частей уравнений 2 и 3 находятся вторые производные по $r$ (времени). Этого быть не может.

Изначально система выглядит так:

$$\frac{\partial{P}}{\partial{r}}=\frac{\rho u^2}{r}$$

$$\frac{\partial{u}}{\partial{r}}=-r\frac{\partial^2u}{\partial{r^2}}+\frac{u}{r}+r(au+bv)$$

$$\frac{\partial{v}}{\partial{r}}=r(\frac{\partial{P}}{\partial{z}}-\frac{\partial^2v}{\partial{r^2}}+bu+qv)$$

Неизвестные функции $P, u, v$, переменные $z, r$. Остальные коэффициенты известны. Можно ли как то эту систему преобразовать, чтобы можно было использовать функцию numol?

[GAA]

Из руководства пользователя Mathcad 11 (вроде в этой версии была введена функция numol)

Цитата:

numol uses the numerical method of lines to solve hyperbolic or parabolic partial differential equations or systems of equations

Как бы Ваша система уравнений не похожа на систему уравнений параболического типа.

Совершено формально и без особой надежды на результат можно выполнить следующее. Если $r$ — время, то, скорее всего, для $u$ и $v$ должно быть дано два начальных условия: их значения в начальный момент времени и значения производной по $r$ в начальный момент времени. Далее введём $w = \frac {\partial u} {\partial r}$. Тогда второе уравнение запишется в виде системы

$\frac {\partial u} {\partial r} = w$, $\frac {\partial w} {\partial r}= -w/r +u/r^2 +au+bv.$

Аналогично, можно ввести новую величину $p = \frac {\partial v} {\partial r}$ и преобразовать третье уравнение в систему двух уравнений.
Краевые условия для $u$, $v$ (на концах отрезка $z$) на первый взгляд ставить не надо.

Вообще, я бы сначала попытался разобраться с постановкой задачи, а потом просто запрограммировал (без использования встроенных функций). Mathcad не предоставляет подробное описание встроенных функций. Как они устроены пользователям не известно.

[mr.daos]

GAA в сообщении #1589575 писал(а):

Вообще, я бы сначала попытался разобраться с постановкой задачи, а потом просто запрограммировал (без использования встроенных функций). Mathcad не предоставляет подробное описание встроенных функций. Как они устроены пользователям не известно.

Можете подсказать, эта система вообще имеет решение при таких дополнительных условиях: $a=665800, b=-376400, q=231200$? Остальные условия на скрине

[GAA]

Если в третьем уравнении убрать производную $P$ ро $z$, то отделиться система двух обыкновенных дифференциальных уравнений

$$\frac{\partial{u}}{\partial{r}}=-r\frac{\partial^2u}{\partial{r^2}}+\frac{u}{r}+r(au+bv);$$

$$\frac{\partial{v}}{\partial{r}}=-r\frac{\partial^2v}{\partial{r^2}}+r(bu+qv).$$

Для такой системы ожидается задача Коши (значение функции и её производной для $u$ и $v$ в начальный момент времени) или краевая задача, например значения функции на краях промежутка. Если посмотреть на приведенные Вами граничные значения, то производной не видим нигде. Имеем задание значения $u$ на одном краю ($u(z, 0.01)=0$), но не имеем задания значения на другом краю. Аналогично для $v$. Нужно, конечно, тщательно исследовать, но какая-то неожиданная, для меня, постановка задачи. Не владею предметом, возможно знатоки заглянут в ветку и подскажут.

Если $0<r< 0.01$, то при $r=0$ вырождение. В этом случае также нужно что-то приговаривать. Случайно область не цилиндр (изначально, в пространственных координатах)? А потом Вы перешли в цилиндрические координаты и положили, что от полярного угла ничего не зависит?

[GAA]

В общем, предположу, что моё предположение верно. Тогда, если надо искать численное решение разностным методом, то я бы посмотрел
Гл. XV, §2 Решение разностных задач в цилиндрической системе координат в книге
Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений, 1978
(там и про ограниченность решения сказано кратко), и построил бы свою схему по образцу и подобию.

[mr.daos]

GAA в сообщении #1589725 писал(а):

Случайно область не цилиндр (изначально, в пространственных координатах)? А потом Вы перешли в цилиндрические координаты и положили, что от полярного угла ничего не зависит?

Да, уравнения в цилиндрических координатах. Взял из книги Митрофановой О. В. "Гидродинамика и теплообмен закрученных потоков в каналах ядерно-энергетических установок", 2010, с. 119. Система, по идее, должна описывать гидродинамику закрученного потока в цилиндрическом канале со спиральным завихрителем, но что то вот пока не удается разобраться с этой системой.

GAA в сообщении #1589800 писал(а):

Гл. XV, §2 Решение разностных задач в цилиндрической системе координат в книге
Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений, 1978

Спасибо, посмотрю.