2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Пример из Кострикина про многочлены
Сообщение09.04.2023, 21:15 


03/02/21
12
Здравствуйте! Никак не могу понять одну строчку из примера. В теореме 1 говорится о том, что поле комплексных чисел алгебраически замкнуто, а из параграфа 1 используется результат о том, что если два многочлена степени n имеют в различных n+1 точках одинаковые значения, то эти многочлены равны.
Изображение

Конкректно не понимаю как из выделенной строчки появляется вывод, что $\sum{n-v} + \sum{n-u} \leqslant degf(X)' = n - 1$:
Изображение

Возникает такое ощущение, что в левой части выделенной строчки вместо равенства должно стоять умножение, ибо в правой части записано произведение двух производных $f(X)'$ и $(f(X)-1)'$. Но если это так, то получается совсем не тот результат: $$(n - v) + (n - u) \leqslant deg(f(X)' \cdot (f(X)-1)') = 2n-2 \Rightarrow 2n - v - u \leqslant 2n-2 \Rightarrow v+u \geqslant 2$$

В теореме 5 из параграфа 1 говорится о том, что если многочлен $f(X)$ имеет кратный корень степени $k$, то этот кратный корень является $k-1$ кратным корнем производной $f(X)'$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пример из Кострикина про многочлены
Сообщение09.04.2023, 21:57 


21/04/22
356
areak в сообщении #1589037 писал(а):
Возникает такое ощущение, что в левой части выделенной строчки вместо равенства должно стоять умножение

Возможно, имелось ввиду
$$f(X)' = (f(X) - 1)' = \prod\limits_{i = 1}^{\nu}(X - c_i)^{s_i - 1}h_1(X) = \prod\limits_{j = 1}^{\mu}(X - d_j)^{t_j-1}h_2(X)$$
Отсюда и взаимной простоты $f(X) $ и $f(X) - 1$ как раз следует неравенство $(n - \nu) + (n - \mu) \le n-1$.

-- 09.04.2023, 22:14 --

Хотя у Кострикина тоже верно. Просто у него не написано явно, что из делимости $f(X)'$ на $\prod\limits_{i = 1}^{\nu}(X - c_i)^{s_i - 1}$ и на $\prod\limits_{j = 1}^{\mu}(X - d_j)^{t_j - 1}$ следует делимость $f(X) $ на произведение $\prod\limits_{i = 1}^{\nu}(X - c_i)^{s_i - 1}\prod\limits_{j = 1}^{\mu}(X - d_j)^{t_j - 1}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Пример из Кострикина про многочлены
Сообщение09.04.2023, 22:38 


03/02/21
12
mathematician123, понял! Огромное Вам спасибо за помощь и уделённое время!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Skipper


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group