Связность в локально тривиальном расслоении

[ElfDante]

Здравствуйте! Читая книгу "Обратные задачи монодромии в теории аналитических дифференциальных уравнений", наткнулся на следующее непонятное место. Ниже дана ссылка на скриншот, где показана часть текста (сам скриншот прикрепляться отказывается). Интересует формула после слов "В базисе ... локальных сечений расслоения $F$ над $U_i$ имеем ???". Здесь речь идет об определении связности в векторном расслоении со слоем F и координатной картой на базе $U_i$. $s^i_j $- это сечения, образующие базис в $\Gamma (F) $($y_j(x)$ ниже - это коэффициенты при разложения произвольного сечения $s(x)$ по $s^i_j (x)$ в указанной карте).
Я не понимаю, как работает выше упомянутая формула. Связность - это операция, переводящая сечение (по сути локальную вектор-функцию) в тензорное произведение дифференциальной формы на вектор-функцию (определение над формулой (3.6)). В локальных координатах это, видимо, что-то в роде матрицы размера nxp (n - размерность базы, а p - слоя), каждый элемент которой - это произведение формы на функцию. Но это не согласуется с написанным. Или что я неправильно говорю?

https://sun9-50.userapi.com/impg/dD6H98hO0FnDqkVvvfrXHA3phm9KvIP6JXqZ4Q/4xrlQIwy03Q.jpg?size=816x521&quality=96&sign=ad5ffa94cccba62bfc2c7d8b5d004f08&type=album

[пианист]

ElfDante в сообщении #1588749 писал(а):

произведение дифференциальной формы на вектор-функцию

Почему? все согласуется.
Только не просто форма, а матричнозначная.
Выше же это Андрей Андреевич прямым текстом говорит (см. формула (3.3)).
PS Спасибо за ссылку, отличная книжка!

[ElfDante]

пианист в сообщении #1588754 писал(а):

Только не просто форма, а матричнозначная.
Выше же это Андрей Андреевич прямым текстом говорит (см. формула (3.3)).

Да, я это видел. Проблема в том, что автор дает два определения. Вы говорите о первом определении (по сути о том, как получилась формула 3.5) и его я вроде как понимаю. Однако потом дается Определение 3.2 и доказывается их эквивалентность. И вот тут я уже не понимаю ту формулу, о которой говорил в первом сообщении.
Насколько я понимаю (далее индекс i буду опускать), матрица $\omega$ - это что-то типа матрицы оператора. Так как $s_j$ - это базис, то мы хотим написать матрицу оператора $\nabla$, поэтому действуем этим оператором на базис. Однако у меня катастрофическое непонимание размерностей. $\nabla s_j$ должно иметь размерность np в каждой точке. А что такое $-(s_1, s_2,...,s_p) \omega$? Как вообще перемножается то, что в скобках, на $\omega$?

пианист в сообщении #1588754 писал(а):

PS Спасибо за ссылку, отличная книжка!

Пожалуйста с: Книга и правда интересная.

[пианист]

ElfDante в сообщении #1588779 писал(а):

Как вообще перемножается то, что в скобках, на $\omega$?

$\omega$ матрица, слева умножаем на строку, получаем строку же.

[ElfDante]

пианист в сообщении #1588825 писал(а):

$\omega$ матрица, слева умножаем на строку, получаем строку же.

То есть, омега в данном случае - это матрица pxp? Тогда получается что $\nabla s_j$ раскладывается по элементам $s_k$ с коэффициентами, являющимися дифференциальными формами... это так и должно быть?)

[пианист]

Связность это способ сравнить вектора расслоения в близких точках базы.

-- Сб апр 08, 2023 20:52:00 --

Я имею в виду, что как раз что-то такое и должно получаться.

[Slav-27]

Раз $s_1,...,s_p$ -- локальный базис сечений, то для любого векторного поля $X$ на $U$ верно $\nabla_X(s_\alpha)=-\sum\limits_\beta s^\beta{\omega_\beta}^\alpha(X)$, где ${\omega_\beta}^\alpha(X)$ -- какие-то гладкие функции на $U$. По определению связности, ${\omega_\beta}^\alpha$ в зависимости от $X$ суть дифферециальные $1$-формы, то есть ${\omega$ -- матрица, состоящая из 1-форм (или, если угодно, 1-форма со значениями в матрицах).