Нетривиальные решения

[Igor999]

Имеет ли система однородных линейных уравнений нетривиальное (ненулевое) решение и почему?

$\left\{ \begin{gathered} 2x - 5y + 7z - u + 2v = 0 \hfill \\ 3x + 4y + z - 2u + v = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

[mkot]

Да. Почему? Заметьте, что число уравнений меньше числа неизвестных. А дальше рассуждайте сами.

[ewert]

имеет, т.к. метод Гаусса

[antbez]

Можно взять две переменные за базисные, а остальные три- за свободные и получить фундаментальное решение, показывающее бесчисленное число решений

[Igor999]

А если записать решение таким образом

$\begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} 2x - 5y + 7z - u + 2v = 0 \hfill \\ 3x + 4y + z - 2u + v = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} - 4x - 13y + 5z + 3u = 0 \hfill \\ - x + 14y - 13z - 3v = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} 3u = 4x + 13y - 5z \hfill \\ 3v = - x + 14y - 13z \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} u = 1\frac{1} {3}x + 4\frac{1} {3}y - 1\frac{2} {3}z \hfill \\ v = - \frac{1} {3}x + 4\frac{2} {3}y - 4\frac{1} {3}z \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} $

[antbez]

Я именно так и предлагал! Отсюда и видна бесчисленность множества решений системы!