В случае
![$n = 4$ $n = 4$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/8/8/d884595d37d0b1b135ceec467be5c32482.png)
придумать такое решение не получилось.
Это можно доказать (коли уж кляксу поставил).
![$y^2=\dfrac{x^4 - 1}{x - 1}=x^3+x^2+x+1=(x+1)(x^2+1).$ $y^2=\dfrac{x^4 - 1}{x - 1}=x^3+x^2+x+1=(x+1)(x^2+1).$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/e/f/bef95d26c9f97d53a5bbb1824ba7512982.png)
Пара последних скобок какой могут иметь общий делитель?
![$\left\{\begin{matrix}
x \equiv -1\\
x^2 \equiv -1
\end{matrix}\right. \Rightarrow x \equiv 1 \Rightarrow \left\{\begin{matrix}
x \equiv 1 \\
x \equiv -1
\end{matrix}\right.$ $\left\{\begin{matrix}
x \equiv -1\\
x^2 \equiv -1
\end{matrix}\right. \Rightarrow x \equiv 1 \Rightarrow \left\{\begin{matrix}
x \equiv 1 \\
x \equiv -1
\end{matrix}\right.$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/d/b/ddb81897ccb192f8e602e3dcfc2b2e2482.png)
может выполняться только по
![$\mod 2.$ $\mod 2.$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/4/4/f44a840e4e56d6950d39c519ee1e8d8f82.png)
Значит, в скобках либо квадраты, либо удвоенные квадраты. В первом случае, понятно,
![$x=0,y=1.$ $x=0,y=1.$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/d/b/7db8e23c2ffe6b8e82e621668567b66382.png)
Второй случай. Положим
![$x=2z^2-1,$ $x=2z^2-1,$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/8/5/a85ac3f0236a92fdebb37cce49b59ee482.png)
и должно выполняться
![$$(2z^2-1)^2+1=2t^2\ \ \ (1).$$ $$(2z^2-1)^2+1=2t^2\ \ \ (1).$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/3/8/838c21d695c7e20cfc8c83e423af4c8582.png)
Снова имеем Пелля, решения которого выражаются дробями
![$x=1$ $x=1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/4/1/f41f51aeb9528548f1409a3a0ec6164082.png)
вне О.Д.З., а вот из второго решения следует
![$z=2,t=5$ $z=2,t=5$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/4/1/641baab98ab3081d5b51d4794184670282.png)
и
![$(x=7,y=20).$ $(x=7,y=20).$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/9/5/c95b79071e0530c090ae96bb5fea680182.png)
Остается доказать, что других решений нет. Они бы нашлись, если в числителях последовательности
![$(2)$ $(2)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/9/e/a9ef45be1cd9cd2165b8ebbb2a77917882.png)
оказалось бы число вида
![$2z^2-1,$ $2z^2-1,$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/e/0/be011559d263af6aa8865cf4a6e8252f82.png)
но заметим, что начиная с
![$n=3$ $n=3$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/a/6/aa6905d780872f0007f642420d7a2d9c82.png)
числители
![$\equiv -1 \pmod 6.$ $\equiv -1 \pmod 6.$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/b/1/fb12c6e0fd6c37afa27853d8a376625282.png)
Значит, искомое
![$z$ $z$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/9/3/f93ce33e511096ed626b4719d50f17d282.png)
должно быть кратно трем. Тогда в левой части
![$(1)$ $(1)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/3/4/d343a5beaabde2410ecf9f826344ed8382.png)
имеем
![$2 \pmod 9$ $2 \pmod 9$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/0/a/a0a6235948c79414819d344df63ea18f82.png)
, а в правой (удваивая квадраты знаменателей последовательности
![$(2)$ $(2)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/9/e/a9ef45be1cd9cd2165b8ebbb2a77917882.png)
, начиная с
![$n=3$ $n=3$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/a/6/aa6905d780872f0007f642420d7a2d9c82.png)
) получаем цикл
![$\overline{8,8,5,5} \pmod 9,$ $\overline{8,8,5,5} \pmod 9,$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/5/b/95b9ef80e5391374b7f2e04baac3c87982.png)
что нетрудно доказать. Впрочем, достаточно проверить в числах, цикл по модулю сам себя доказывает. Противоречие.
P.S. "
![$z$ $z$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/9/3/f93ce33e511096ed626b4719d50f17d282.png)
кратно трем" — это неверно, поскольку числители
![$\equiv \mp1 \pmod 6.$ $\equiv \mp1 \pmod 6.$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/c/5/ac59fdfc7fcfe03ffaeded5a6310448d82.png)
Опять клякса
![:oops: :oops:](./images/smilies/icon_redface.gif)
Возможно
![$z \equiv \pm 2,\pm 4 \pmod 9.$ $z \equiv \pm 2,\pm 4 \pmod 9.$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/5/4/2542e363244719312492f1cb8dc5203382.png)