Самый близкий к центру локальный экстремум

[мат-ламер]

Если функция имеет вид, как вы привели в своём примере, (т.е. собственные значения матрицы квадратичной формы сильно отличаются - задача плохо обусловлена), то задачу можно решать так. Вы определяете направление наискорейшего подъёма функции (его определяет её градиент). Далее рассматриваете ограничение вашей функции вдоль этого направления. Это будет одномерная квадратичная функция. Далее находите точку максимума этой функции. При этом следите, что этот максимум не выйдет за границу вашего квадрата. Иначе остановитесь на этой границе.

-- Ср апр 05, 2023 23:13:36 --

мат-ламер в сообщении #1588440 писал(а):

Если функция имеет вид, как вы привели в своём примере, (т.е. собственные значения матрицы квадратичной формы сильно отличаются - задача плохо обусловлена),

А в общем случае за направление поиска можно взять собственный вектор матрицы квадратичной формы, который отвечает наибольшему собственному значению этой матрицы.

[zgemm]

мат-ламер
Правильно, я собственно в этом же и направлении мыслил. Гессиан функции как раз показывает направление куда двигаться, но начинать надо не от начала координат, а от местоположения экстремума. Получится прямая, и она может пройти довольно близко от начала координат, и это расстояние от начала координат до этой прямой легко посчитать. Второй собственный вектор даст еще одно направление, и, если матрица не плохо обусловлена, второе направление может случайно пройти ближе к началу координат, чем первое, но я такой пример пока найти не смог, хотя не сильно-то и искал.

В примере, что я выше озвучил - экстремум в $(0,100)$, прямые $X=0$, и $Y=100$, и очевидно, что первая прямая прямо точно пересекает начало координат.

[Евгений Машеров]

zgemm в сообщении #1588435 писал(а):

и в области моего квадратика $(-4,4)^2$ не имеет экстремума

zgemm в сообщении #1588423 писал(а):

то весь квадратик на пологом склоне и весь этот квадратик мне не интересен

[мат-ламер]

zgemm в сообщении #1588465 писал(а):

но начинать надо не от начала координат, а от местоположения экстремума. Получится прямая, и она может пройти довольно близко от начала координат, и это расстояние от начала координат до этой прямой легко посчитать.

Можно и так. Одну прямую проводим из точки глобального максимума в направлении собственного вектора, который соответствует наибольшему (наименьшему по модулю) собственному значению. Это будет "горб" в вашем понимании. Вторую прямую проводим из начала координат перпендикулярно первой. То есть в направлении второго собственного вектора. На пересечении этих прямых и будет нужная вам точка.

мат-ламер в сообщении #1588440 писал(а):

А в общем случае за направление поиска можно взять собственный вектор матрицы квадратичной формы, который отвечает наибольшему собственному значению этой матрицы.

Тут у меня опечатка. Поскольку собственные значения отрицательны, то следует читать "наибольшему по модулю", то есть наименьшему.