Определитель кососимметрической матрицы

[Maxim19]

Здравствуйте, надо показать, что определитель кососимметрической матрицы 4 порядка равен квадрату целого числа(матрица из целых чисел). Также сказано, что это верно для всех определителей. Если порядок нечётный, то определитель равен нулю, если чётный, то необязательно. Моя попытка такая: я вычитал из первой строки остальные строки последовательно с коэффициентами так, чтобы первую строку занулить, кроме левого верхнего элемента. Определитель равен произведению того элемента, на соответствующее алгебраическое дополнение, а так как надо квадрат целого, то определитель минора 3 порядка должен быть равен левому верхнему элементу, но в выражении элемента есть дроби, чего нет в определителе 3 порядка. Я так понял, надо как то удачно преобразовать без умножения на дробь для зануления. Что предложите?

[EminentVictorians]

Maxim19 в сообщении #1588470 писал(а):

Если порядок нечётный, то определитель равен нулю

У меня вроде бы получилось.

Пусть $A$ - кососимметрическая матрица. Это значит, что $A^T = -A$.


Тогда

$$\det{A} = \det{A^T} = \det{(-A)} = (-1)^n \det A$$

Если $n$ - нечетное, значит

$$\det{A} = - \det A$$

откуда получаем, что

$$\det{A} = 0$$

[Maxim19]

Я плохо наверное написал, что нужно. Это я просто решил посмотреть в общих чертах, зачем дали именно определитель чётного порядка. Задача в том, чтобы доказать, что определитель 4 порядка из целых чисел равен квадрату целого числа.

-- 06.04.2023, 02:12 --

Есть продвижения, я забыл, что на диагонали нули должны стоять.

-- 06.04.2023, 02:18 --

Получилось. Ничего придумывать с преобразованиями не надо. Нули на диагонали всё сильно упрощают. Просто получаются в итоге, если определитель в лоб считать, квадраты.