Вероятностная мера

[Doctor Boom]

На множестве вещественных чисел отрезка $[0,1]$ можно определить понятие "выбрать случайное действительное число", а на множестве рациональных чисел того же отрезка определить понятие "выбрать случайное рациональное число" нельзя. Вроде странно, хотя вроде все норм, не?

[mihaild]

Doctor Boom в сообщении #1588375 писал(а):

а на множестве рациональных чисел того же отрезка определить понятие "выбрать случайное рациональное число" нельзя

Можно.

Разница в том, что на отрезке есть всем привычное распределение с кучей хороших свойств - у него максимальная энтропия, оно инвариантно по циклическому сдвигу и т.д., а для распределений на рациональных числах подобного нет. Ну бывает.

[Doctor Boom]

mihaild
Не очень понятно, можно поподробнее? Как быть с тем, что можно занумеровать рац. числа натуральными, а на них нельзя ввести вероятностное распределение?

[mihaild]

Doctor Boom в сообщении #1588385 писал(а):

Как быть с тем, сто можно занумеровать рац. числа натуральными, а на них нельзя ваести вероятностное распределение?

Да почему нельзя-то? Вон функция с картинки выше задает вероятностное распределение на натуральных числах (и вообще на любом множестве, содержащем $4$).

[alisa-lebovski]

Вероятностное распределение на рациональных ввести можно, но равномерное на отрезке нельзя.

[ShMaxG]

Doctor Boom в сообщении #1588385 писал(а):

Как быть с тем, что можно занумеровать рац. числа натуральными, а на них нельзя ввести вероятностное распределение?

Сопоставьте каждому натуральному $n\in\mathbb{N}$ число $p_n\in[0,1]$ так, чтобы ряд $\sum_{n=1}^{\infty}p_n=1$. Сходящиеся ряды в математическом анализе встречаются.

[Doctor Boom]

mihaild в сообщении #1588387 писал(а):

Да почему нельзя-то? Вон функция с картинки выше задает вероятностное распределение на натуральных числах (и вообще на любом множестве, содержащем $4$).

Какого тогда матожидание длины числителя рац. дроби?

alisa-lebovski в сообщении #1588391 писал(а):

Вероятностное распределение на рациональных ввести можно, но равномерное на отрезке нельзя.

Да, разумеется, я имел ввиду равномерное Любое вводится тривиально - мы можем всегда попадать в единицу

-- 05.04.2023, 18:57 --

Doctor Boom в сообщении #1588398 писал(а):

Да, разумеется, я имел ввиду равномерное

Или более общО - не любое вероятностное распределение на действительных числах может быть естественно обобщено на рациональные

[mihaild]

Doctor Boom в сообщении #1588398 писал(а):

Какого тогда матожидание длины числителя рац. дроби?

По какому распределению? По приведенному на картинке - $1$.

Doctor Boom в сообщении #1588398 писал(а):

Да, разумеется, я имел ввиду равномерное

Ну равномерное это "инвариантное по циклическому сдвигу". Такого нет. Видимо потому что рациональные числа не компактны.