Самый близкий к центру локальный экстремум

[zgemm]

Здравствуйте,

пусть у меня дана функция от двух переменных вида

$$F(x,y) = p_1 x^2 + p_2 y^2 + p_3 + p_4 x y + p_5 x + p_6 y, ~~~(1)$$

Будем называть множество точек с локальным экстремумом $(r \cos \alpha, r \sin \alpha)$, для которых эта функция из этой точки будет иметь такой вектор направления $(\cos \beta, \sin \beta)$, вдоль которого эта точка является локальным экстремумом этой функции, и мне нужно найти минимальное значение $r$ (и соответсвующий угол альфа), для которого имеется такой локальный экстремум.

Я понимаю, что что-то делаю не так, но не нашел быстро у себя ошибку. Я пробую посчитать производную $F$ по $t$, приравнять ее к нулю, и одновременно потребовать, чтобы $t$ в этой точке у меня было равно нулю, то есть

$$F(r \cos \alpha + t \cos \beta, r \sin \alpha + t \sin \beta)'_{t=0}=0, ~~~(2)$$

но получается, что

$$ \cos \beta ( 2 p_1 r \cos \alpha + p_4 r \sin \alpha + p_5 ) + \sin \beta ( 2 p_2 r \sin \alpha + p_4 r \cos \alpha + p_6 ) = 0, $$

то есть для любой $(r \cos \alpha, r \sin \alpha)$ существует $\beta$, при которой это происходит, но ведь это не верное утверждение.

Скажите, пожалуйста, что я делаю не так?

[Null]

zgemm в сообщении #1588237 писал(а):

то есть для любой $(r \cos \alpha, r \sin \alpha)$ существует $\beta$, при которой это происходит

Это правда. В любой точке есть касательная плоскость. В ней есть горизонтальная прямая(ее пересечение с горизонтальной плоскостью). По этому направлению производная 0.

[vpb]

zgemm в сообщении #1588237 писал(а):

но ведь это не верное утверждение.

Нет, это как раз верное утверждение. Смотрите. У Вас есть точка $(x,y)$, и Вы вычисляете производную от $f$ в этой точке вдоль луча с направлением $(\cos\beta, \sin\beta)$. При каком-то направлении луча она будет, скажем, положительная. Тогда при противоположном направлении она отрицательная. А значит, когда мы вращаем наш луч от первого направления ко второму, то в некоторый момент эта производная становится равной нулю, по соображениям непрерывности.

P.S. В сравнении с предыдущим оратором --- те же яйца, вид сбоку...

[zgemm]

Null в сообщении #1588241 писал(а):

Это правда. В любой точке есть касательная плоскость. В ней есть горизонтальная прямая(ее пересечение с горизонтальной плоскостью). По этому направлению производная 0.

Точно! Спасибо, что заметили... Теперь бы придумать, как это избежать, мне же надо понять есть ли там такое направление, вдоль которого в этой точке есть максимум.

EDIT: запутался и не могу понять, а как это можно формализовать через производные, подскажите, пожалуйста?

-- 04.04.2023, 17:01 --

vpb Спасибо!

[Евгений Машеров]

(Оффтоп)

На фига? (С) поэт Андрей Вознесенский.

У этой функции есть глобальный экстремум, он легко находится.

[zgemm]

Евгений Машеров в сообщении #1588340 писал(а):

(Оффтоп)

На фига? (С) поэт Андрей Вознесенский.

У этой функции есть глобальный экстремум, он легко находится.

Да, верно, очень простой системой линейных уравнений 2х2. Но он может быть далеко от центра, но вот "горб" может проходить очень близко. Пока строю пересечение с $x=c_x$ или $y=c_y$ в соответствующих пересечениях ищу экстремум и потом ищу такой $c_x$ или $c_y$ чтоб расстояние до центра было минимальным. Но, к сожалению, там можно как я понимаю не найти самое ближайшее.

[мат-ламер]

zgemm
Глобальный смысл ваших действий непонятен. Вообще с какой целью вы ищите ближайший к центру локальный экстремум? И что вы под ним понимаете? Может всё решается гораздо проще.

[zgemm]

А правильно ли я понимаю, что множество решений моей задачи - это две прямые, которые пересекаются в точке экстремума и имеют направления в виде одного из собственных векторов гессиана?

[мат-ламер]

zgemm в сообщении #1588358 писал(а):

А правильно ли я понимаю, что множество решений моей задачи

А можно поподробнее, в чём состоит ваша задача?

[zgemm]

мат-ламер в сообщении #1588359 писал(а):

А можно поподробнее, в чём состоит ваша задача?

Так вот есть квадратичная функция, надо понять есть ли у нее "горб" в окрестности нуля, и если есть, то на сколько "близко" он находится к нулю.

Решение у меня уже получилось -
вначале ищем единственную экстремальную точку (предполагаем случай невырожденности),
далее через нее проводим две прямые, которые образованы как собственные векторы Гессиана от функции (он там совсем трииален) и ищем у какой из прямых минимальное расстояние до нуля.

Оказалось все просто, а я целый день возился...

[мат-ламер]

zgemm в сообщении #1588384 писал(а):

Так вот есть квадратичная функция, надо понять есть ли у нее "горб" в окрестности нуля, и если есть, то на сколько "близко" он находится к нулю.

Если рассмотреть пример. Пусть у нас есть функция $f(x,y)=-(x+y-1)^2$ . Горб, это прямая $x+y=1$ . Нужно найти точку на этой прямой, которая ближе всего к началу координат. Похоже, начинаю понимать условие.

-- Ср апр 05, 2023 19:17:52 --

zgemm в сообщении #1588384 писал(а):

Решение у меня уже получилось -
вначале ищем единственную экстремальную точку (предполагаем случай невырожденности),

Хотя нет. Не понял. У меня ведь вырожденный случай.

Но если единственная экстремальная точка, тогда причём тут "горб"? Его уже не будет.

-- Ср апр 05, 2023 19:20:03 --

zgemm
Я вам советую. Если задача из задачника, то приведите полностью её условие. Если задача не из задачника, то раскройте тайну её появления. А то у меня ощущение, что вы чего-то не понимаете.

[Евгений Машеров]

У этой функции ровно один экстремум. Глобальный, он же локальный. Искать "другой локальный" бессмысленно. Его нет. Смысл может быть в поиске экстремума при дополнительных ограничениях, скажем, на неотрицательность. Или можно ввести штрафную функцию за удаление от начала координат. Но в Вашей постановке ничего подобного не просматривается. Вероятно, надо уточнить, что же Вам надобно.

[zgemm]

не, не из задачника, а из моей темы пососедству topic153404.html

Идея в том, чтобы посчитать сумму квадратов градиентов в скажем 10 рандомных точках на квадрате 8х8 пикселей, аппроксимировать это все чем-то, что легко аппроксимируется (из-за этого и взят полином второго порядка), и потом найти есть ли горб в полученной функции, который проходит близко к центру этого квадратика. Если нет, то весь квадратик на пологом склоне и весь этот квадратик мне не интересен, а если тут максимум, или горб, то надо пересчитать уже все полностью и использовать классические методы.

Конечная цель - она как раз в том топике - быстро считать градиенты, где они имеют экстремумы и не потратить лишних операций.

[Евгений Машеров]

Ну так ищите экстремум, а потом проверяйте, не вылетел ли он за пределы квадрата.

[zgemm]

Не, Евгений Машеров, вот смотрите, только экстремум - это конечно классно, но внутри этого квадратика может все аппроксимироваться во что-то похожее на, например, $F(x,y)=-x^2-\frac{1}{100} (y+100)^2+1$ и уже эта функция в области задания этого квадратика имеет горб и почти равна перевернутой параболе $-x^2+1$ и в области моего квадратика $(-4,4)^2$ не имеет экстремума, который лежит очень далеко - в точке $(0,100)$.

ИМХО, мне повидимому модель надо как-то усложнять, но я пока не понимаю до конца как именно.