Вычисление ускорения

[Vanili]

В первом параграфе "Механики" Ландау и Лившица написано:

"С математической точки зрения это значит, что заданием всех координат и скоростей в некоторый момент времени однозначно определяется также и значение ускорений в этот момент"

Так вот, если координата в данный (т.е. известный) момент времени задана аналитически (т.е. в виде функции координаты от времени), то нам нет необходимости знать скорости в данный момент времени, т.к. они легко получаются дифференцированием, из чего следует, что координата задана численно, ровно как и скорость.

Вопрос: как, зная численное значение координаты и скорости в данный момент времени, определить ускорение.

Либо более математически точно: как определить численное значение второй производной некоторой функции, зная численные значения первой и самой функции в данной точке и то, что вторая производная существует.

[homounsapiens]

Vanili в сообщении #158644 писал(а):

как определить численное значение второй производной некоторой функции, зная численные значения первой и самой функции в данной точке и то, что вторая производная существует.

Вычислите вторую производную. Подставьте в неё значения координат точки. При этом знать значение функции в точке необязательно, а вот существование второй производной существенный факт (но в физике почти всегда работают с дифференцируемыми функциями).

[Vanili]

homounsapiens писал(а):

Вычислите вторую производную.

В этом-то собственно и вопрос: мы не знаем функцию, а знаем только её численное значение в данной точке и численное значение её первой производной в той же точке.

Если бы мы знали функцию, то тогда спрашивается зачем нам надо знать значение её первой производной. Т.к. в этом случае можно вычислить первую производную (если очень надо, то подставить значение координаты и получить скорость) и вторую (соответственно ускорение)

[Архипов]

Vanili в сообщении #158644 писал(а):

Вопрос: как, зная численное значение координаты и скорости в данный момент времени, определить ускорение.

Заданы:
1. начальная координата Xo, скорость Vo, время To
2. текущая (в данный момент) координата x, скорость v, время t.
3,Задана функция $f(x,v)$

Пример: $f(x,v)=v^2-Vo^2-C*(x^2-Xo^2)=0$
Вычислить ускорение $a=dv/dt$
Ответ:
$a(x)=-Cx$
и $a(t)=-Xo*C^2sin(Ct)$

[Vanili]

Архипов писал(а):

Заданы:
1. начальная координата Xo, скорость Vo, время To

Согласен, но где же их взять эти начальную координату, скорость и время??? Ведь это-то я и не могу понять, если, например, мы начали наблюдать материальную точку в момент времени 5(единиц измерения времени) в точке с координатой 23 (единичных отрезка), и скоростью (15,5 ео/еив), то как определить ускорение?

В учебнике, как я понимаю, именно так задача и ставится

и ещё, по-моему,

a(x)=cx

[peregoudov]

Vanili,
мне кажется, Вы не понимаете смысла процитированной Вами фразы. А смысл ее в том, что существует соотношение

$$ \ddot q=f(q,\dot q,t), $$

где функция f своя для каждой системы. Это соотношение называется уравнением движения системы. То есть Ландау фактически говорит, что уравнение движения системы есть обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка. Все это написано в следующем после процитированного Вами абзаце.

[Vanili]

peregoudov писал(а):

Vanili,
мне кажется, Вы не понимаете смысла процитированной Вами фразы.

Да, для того, чтобы описать состояние системы в любой момент времени, мы должны знать уравнение движения системы, это понятно. Вопрос, который я задал и состоит в том, как получить уравнение движения системы зная, только координаты и скорости точек системы, т.е. как "предсказать дальнейшее её движение ... заданием всех координат и скоростей в некоторый момент времени".

Понимаю, что вопрос, который задаю, на самом деле глупый, но ведь для того, чтобы знать состояние системы надо иметь уравнение движения и начальные условия. То, что написано в абзаце, к которому я прицепился, - только начальные условия; т.е. надо ещё каким-либо образом получить само уравнение движения, которое, как я понял "как показывает опыт ... в принципе" можно получиь из начальных условий.

[peregoudov]

Vanili в сообщении #158690 писал(а):

надо ещё каким-либо образом получить само уравнение движения, которое, как я понял "как показывает опыт ... в принципе" можно получиь из начальных условий.

Вы неправильно поняли. Уравнение движения получают из "устройства" системы. Например, для грузика на пружинке будет f=-kq/m (в моих обозначениях f не сила, а ускорение).

Послушайте, если Вы взялись с нуля изучать механику по Ландау, то это плохая идея. Нужно сначала проработать какой-нибудь учебник общей физики, например, Стрелкова.

[Vanili]

peregoudov
Спасибо

[photon]

photon:

Часть сообщений выделена в отдельную тему:

http://dxdy.ru/topic19588.html