расстояние между замкнутым и компактным множеством

[g-a-m-m-a]

Доброго времени суток!

Задачка следующая: доказать, что если компактное и замкнутое множество в метрическом пространстве не пересекаются, то расстояние между ними положительно.

Заранее спасибо))

[ewert]

построить последовательность пар точек, расстояния между которыми стремятся к инфимуму, и воспользоваться определением компактности (тем, которое насчёт выбора сходящейся подпоследовательности)

(это не задачка, а теоремка)

[g-a-m-m-a]

del

[Brukvalub]

1.Дополнение замкнутого множества - открыто, поэтому каждая точка компакта содержится в некотором открытом шаре, целиком лежащем в этом дополнении. Уменьшим теперь радиусы всех этих шаров вдвое - получится открытое покрытие компакта.
2. Из полученного открытого покрытия компакта можно извлечь конечное подпокрытие шарами, и среди оставшихся в конечном подпокрытии шаров есть шар наименьшего радиуса р.
3. Вот теперь точки замкнутого множества и компакта не могут оказаться ближе, чем на расстоянии р,