Пчму у матрицы смежности n собственных чисел?

[Verbery]

Всем привет! Кто-то может помочь доказать эти 2 (по всей видимости) простых факта:
1) "матрица смежности является симметрической, а, значит, у нее есть n вещественных собственных значений, $λ_1 \leq λ_2 \leq ... \leq λ_n$" (По-моему, сослаться на факт, что собственные векторы симметрической матрицы образуют оронормированный базис не достаточно?)

2) "если граф $G$ является $d$-регулярным, то $d$ является
максимальным по модулю собственным значением"

[worm2]

1) Едва ли в теории графов от вас потребуют доказывать теорему из линейной алгебры. Поэтому, я думаю, тут достаточно просто сослаться на известную теорему "Все собственные значения (какой?) матрицы — вещественны".

2) А вот тут уже надо думать.
Подсказки:
а) рассмотрите вектор $(1, 1, \dots, 1)$
б) пусть $x$ — собственное значение матрицы смежности, $x > |d|$ и $(a_1, a_2, \dots, a_n)$ — собств. вектор, соответствующий с.з. $x$. Рассмотрите сумму $a_1 + a_2 + \dots + a_n$.

[Verbery]

worm2 в сообщении #1586299 писал(а):

1) Едва ли в теории графов от вас потребуют доказывать теорему из линейной алгебры. Поэтому, я думаю, тут достаточно просто сослаться на известную теорему "Все собственные значения (какой?) матрицы — вещественны".

Извините, но не понял почему так очевидно, что из "Все собственные значения симметричной матрицы — вещественны" следует, что их именно n? А если матрица вообще нулевая?

[svv]

Имеется в виду — с учётом кратности. Например, у полного графа с пятью вершинами матрица смежности имеет собственное значение $4$ кратности $1$ и собственное значение $-1$ кратности $4$, так что с учётом кратности их пять.