a^3 + b^2 + c^2 = nabc

[mathematician123]

rightways
Вот полное доказательство:

Теорема. Уравнение

$$ x^3 + y^2 + z^2 = (8n + 6)xyz $$

не имеет решений в натуральных числах.

Доказательство. Предположим, что $p \mid x$ для некоторого $p \equiv 3 \pmod{4}$. Тогда $p^2 \mid x$, $p^3 \mid y$, $p^3 \mid z$, и четвёрка $(\frac{x}{p^2}, \frac{y}{p^3}, \frac{z}{p^3}, p^2(8n+6))$ является новым решением рассматриваемого уравнения. Будем проделывать данную процедуру пока у $x$ есть делители вида $4k + 3$. Таким образом, можно считать, что $x$ не имеет простых делителей вида $4k + 3$. Значит, $x$ -- чётное число, так как в противном случае рассматриваемое уравнение не имеет решений по модулю 4. Предположим, что $4 \mid x$. Тогда получим уравнение

$$ (\frac{x}{4})^3 + (\frac{y}{8})^2 + (\frac{z}{8})^2 = 4(8n + 6)\frac{x}{4}\frac{y}{8}\frac{z}{8}, $$

неразрешимость которого доказана.

Значит, $x = 2x_1$, где $x_1 \equiv 1 \pmod{4}$. Преобразуем рассматриваемое уравнение.

$$ (y - (8n+6)x_1z)^2 - (4(4n+3)^2x_1^2 - 1)z^2 = -8x_1^3 $$

Тогда символ Якоби $\left(\frac{-2x_1}{(8n+6)x_1 + 1}\right)$ равен единице, что невозможно. Из $x_1 \equiv 1 \pmod{4}$ следует $ (8n+6)x_1 + 1 \equiv 7 \pmod{8}$. Тогда $\left(\frac{-2}{(8n+6)x_1 + 1}\right) = -1$ и $\left(\frac{x_1}{(8n+6)x_1 + 1}\right) = \left(\frac{(8n+6)x_1 + 1}{x_1}\right) = 1$.

[mathematician123]

mathematician123 в сообщении #1586172 писал(а):

Теорема. Уравнение

$$ x^3 + y^2 + z^2 = (8n + 6)xyz $$

не имеет решений в натуральных числах.

Тут нужно поправить, что $n \ge 0$. То есть, отсутствие решений в случае $n = 0$ тоже доказано.

[RIP]

rightways в сообщении #1586162 писал(а):

А как доказать, что $\left(\frac{-2s}{6s-1}\right)=-1$?

Если $s$ нечётно, то $6s-1\equiv1\pmod{4}$, поэтому

$$\left(\frac{-2s}{6s-1}\right)=(-1)^{\frac{(6s-1)^2-1}{8}}\cdot\left(\frac{6s-1}{s}\right)=-1.$$

Если $s=2^{a}t$, $a\geqslant2$, $t$ нечётно, то $6s-1\equiv-1\pmod{8}$, поэтому

$$\left(\frac{-2s}{6s-1}\right)=-\left(\frac{t}{6s-1}\right)=-(-1)^{\frac{t-1}{2}}\left(\frac{6s-1}{t}\right)=-1.$$

Если $s=2t$, то

$$\left(\frac{-2s}{6s-1}\right)=-\left(\frac{t}{6s-1}\right)=-1.$$