2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33 ... 39  След.
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение16.03.2023, 20:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6591
А в моём издании 2009-го года в ответе к этой задаче стоит корень шестой степени. :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение16.03.2023, 20:17 
Заслуженный участник


12/07/07
4438
Если приводить ответ в "досчитанном" виде, то
$2\sqrt[6]1 = \left\{2, -2, \sqrt{-2 - 2 \sqrt 3 i}, -\sqrt{-2 - 2 \sqrt 3 i}, \sqrt{-2 + 2\sqrt 3 i}, -\sqrt{-2 + 2\sqrt 3 i}\right\}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение17.03.2023, 01:04 


03/06/12
2745
GAA в сообщении #1585683 писал(а):
Если приводить ответ в "досчитанном" виде, то
$2\sqrt[6]1 = \left\{2, -2, \sqrt{-2 - 2 \sqrt 3 i}, -\sqrt{-2 - 2 \sqrt 3 i}, \sqrt{-2 + 2\sqrt 3 i}, -\sqrt{-2 + 2\sqrt 3 i}\right\}$

Честно говоря, это не совсем "досчитанный" вид :-) . А еще я не совсем понимаю, зачем сюда привлекать еще и квадратные корни, если можно сразу и практически бесплатно не считая, через формулу Муавра: $2\sqrt[6]{1}=2\sqrt[6]{\cos0+i\sin0}$, $\dfrac{0+2\pi k}{6}=\dfrac{\pi k}{3}$, $k=0,\,1,\,2,\,3,\,4,\,5$. Тогда получаем следующие значения искомого корня:
при $k=0$: $2(\cos0+i\sin0)=2$;
при $k=1$: $2\left(\cos\dfrac{\pi}{3}+i\sin\dfrac{\pi}{3}\right)=1+\sqrt{3}i$;
при $k=2$: $2\left(\cos\dfrac{2\pi}{3}+i\sin\dfrac{2\pi}{3}\right)=-1+\sqrt{3}i$;
при $k=3$: $2(\cos\pi+i\sin\pi)=-2$;
при $k=4$: $2\left(\cos\dfrac{4\pi}{3}+i\sin\dfrac{4\pi}{3}\right)=-1-\sqrt{3}i$;
при $k=5$: $2\left(\cos\dfrac{5\pi}{3}+i\sin\dfrac{5\pi}{3}\right)=1-\sqrt{3i}$;
Спасибо всем за отклики!

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение17.03.2023, 01:24 
Заслуженный участник


12/07/07
4438
Смысл в моём сообщении был в 6 значениях. А форма была выбрана в расчёте на Ваш гневный ответ. Он и последовал. Значит всё хорошо.

-- Fri 17.03.2023 00:27:42 --

И тут, как часто и случается, вопрос в каком смысле ответ проще. В одних случаях один ответ проще. В других случаях другой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение17.03.2023, 01:42 


03/06/12
2745
В ответе к букве л) зачем-то поставили мало того, что ненужную, еще и одиночную закрывающую фигурную скобку. А вот в издании 2009 года ее уже нет. Они, видать, когда в больших фигурных скобках \left\{ \right\} писали, забыли, что в них находятся и еще раз закрыли фигурные скобки.

-- 17.03.2023, 02:45 --

GAA в сообщении #1585707 писал(а):
А форма была выбрана в расчёте на Ваш гневный ответ. Он и последовал. Значит всё хорошо.

:D

-- 17.03.2023, 02:46 --

Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение17.03.2023, 01:52 
Заслуженный участник


12/07/07
4438
Sinoid в сообщении #1585708 писал(а):
Спасибо.

А я бы на мой пост задал бы вопрос: «А в каком смысле там квадратные корни?»

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение17.03.2023, 07:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6591
GAA в сообщении #1585709 писал(а):
«А в каком смысле там квадратные корни?»

Квадратные корни из действительных чисел в ответах понимаются в действительном смысле. Иначе получается рекурсия.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение17.03.2023, 17:40 


03/06/12
2745
GAA в сообщении #1585709 писал(а):
Sinoid в сообщении #1585708 писал(а):
Спасибо.

А я бы на мой пост задал бы вопрос: «А в каком смысле там квадратные корни?»

Извлечение корней, квадратных корней, мне видится настолько рутинной процедурой, что спрашивать еще что-то по этому вопросу мне как-то не пришло в голову. Корни я извлеку как обычно, с помощью формулы Муавра, некоторые аспекты доказательства которой я обсудил в этой теме выше. Да, квадратные корни из комплексных чисел можно еще извлекать приемом, описанным в Курсе высшей алгебры Куроша:
Изображение
Так что повода задавать еще 1 вопрос про этот ваш пост:
GAA в сообщении #1585683 писал(а):
Если приводить ответ в "досчитанном" виде, то
$2\sqrt[6]1 = \left\{2, -2, \sqrt{-2 - 2 \sqrt 3 i}, -\sqrt{-2 - 2 \sqrt 3 i}, \sqrt{-2 + 2\sqrt 3 i}, -\sqrt{-2 + 2\sqrt 3 i}\right\}$

я и правда не увидел, вопреки даже замечанию в начале скрина о бо́льшей трудности при извлечении корней из комплексных чисел, чем при возведении их в натуральную степень. Это я говорю именно про квадратные корни, когда упоминаю про то, что говорится на скрине после замечания о бо́льшей трудности. Или там и вправду есть еще какие-то подводные камни? Расскажите тогда, пожалуйста, что вы имели ввиду.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение17.03.2023, 18:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6591
GAA в сообщении #1585709 писал(а):
А я бы на мой пост задал бы вопрос: «А в каком смысле там квадратные корни?»

Только сейчас дошёл смысл поста. Оказывается пост с вложенными квадратными корнями в каком-то смысле был провокационным. Возможно это получилось не преднамеренно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение17.03.2023, 18:58 


03/06/12
2745
мат-ламер
Ну я в свете моего сегодняшнего поста от 18:40 правильно или нет понимаю то, что хотел мне сказать уважаемый GAA? Скажите вы, пока нет его.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение17.03.2023, 19:00 
Заслуженный участник


12/07/07
4438
Sinoid в сообщении #1585771 писал(а):
Расскажите тогда, пожалуйста, что вы имели ввиду.
Квадратные корни от комплексных аргументов понимаются в том посте в смысле главного значения. (Я не знаю дошли ли Вы при изучении до этого понятия.)

-- Fri 17.03.2023 18:02:46 --

(Но это в данном месте, скорее всего, отступление от темы.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение18.03.2023, 01:32 


03/06/12
2745
GAA в сообщении #1585788 писал(а):
в смысле главного значения.

Вы имеете ввиду то, про что написано, например, вот в этом месте? Приведу цитату фрагмента, который я имею ввиду, из того места, еще здесь:
Цитата:
Поскольку аргумент любого комплексного числа определяется с точностью до слагаемого $2k\pi$ , где $k$ - произвольное целое число, то вводится, главное значение аргумента, обозначаемое $\operatorname{arg}z$ и удовлетворяющее неравенствам: $$-\pi<\arg z\leqslant\pi$$

? Так ни в обсуждаемом курсе алгебры Кострикина, ни в Курсе высшей алгебры Куроша этого понятия не вводится. Видел же я про главное значение аргумента в какой-то, не помню какой, книге по ТФКП у себя на компе. Сейчас на скорую руку попытался вспомнить/найти эту книгу на компе. Нет, не получилось. По этой причине я вообще считал, что главное значение аргумента - это понятие, используемое предпочтительнее в ТФКП, хотя, понятно, при желании, необходимости, это понятие можно ввести и при работе в других областях математики.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение18.03.2023, 02:40 
Заслуженный участник


12/07/07
4438
В упражнении 22.7 и) нужно было найти $\sqrt[6]{64}$. Этот корень имеет 6 значений, а в ответе книги (Вами) приведено выражение $2\sqrt 1$, которое имеет два значения. Я привел «ответ» в виде множества, содержащего четыре квадратных корня от комплексных чисел и два действительных числа, т.е. или значений больше 6 (чего быть не может) или различных значений 6, но часть совпадает, а как учили в школе «все элементы множества различны». Т.е. не зависимо от того, правильно ли и до конца ли выполнено решение, что-то в той записи не так. Чтобы всё было на первый взгляд правильно нужно предположить, что учитывается только одно (главное) значение квадратного корня. Имеются различные договорённости выделения главных значений, но в контексте данного обсуждения достаточно, что выбирается только одно значение, например, с минимальным аргументом.

Провокация была направлена на проверку Вами числа значений. В общем, очень уж мелко это, не на то сразу обращает внимание собеседник, не очень интересная головоломка. Не буду больше развивать отступление от темы.
[Значения взялись так $\sqrt[6]64 = \sqrt[2]{\sqrt[3]{64}}$...]

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение19.03.2023, 03:33 


03/06/12
2745

(Оффтоп)

Я днем напишу: вчера не смог.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение19.03.2023, 20:03 


03/06/12
2745
GAA ясно. Да, все так и есть. При случае повторите, пожалуйста, эту или подобную этой уловку. Спасибо.

Наконец, последняя неполучившаяся у меня буква в этом упражнении. Это буква п). В ответе, как видно из приведенного мной скрина на предыдущей странице, среди прочих, присутствует число $1-i$. Оно-то у меня и не получается. Вместо него у меня получается $-1-i$.

(Вот мои расчеты)

$\sqrt[3]{2-2i}=\sqrt{2}\cdot\sqrt[3]{\dfrac{1}{\sqrt{2}}-\dfrac{1}{\sqrt{2}}i}=\sqrt{2}\cdot\sqrt[3]{\cos\dfrac{7\pi}{4}+i\sin\dfrac{7\pi}{4}}$. Далее, $\dfrac{\dfrac{7\pi}{4}+2\pi k}{3}=\dfrac{(8k+7)\pi}{12}$, $k=0,\,1,\,2$. Поэтому, принимая во внимание вычисленные мною ранее значения $\cos\dfrac{\pi}{12}$ и $\sin\dfrac{\pi}{12}$:
Sinoid в сообщении #1585367 писал(а):
$\sin\dfrac{\pi}{12}=\sqrt{\dfrac{1-\cos\dfrac{\pi}{6}}{2}}=\sqrt{\dfrac{1-\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{2}}=\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}$, $\cos\dfrac{\pi}{12}=\sqrt{\dfrac{1+\cos\dfrac{\pi}{6}}{2}}=\sqrt{\dfrac{1+\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{2}}=\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}$.

, получаю:
при $k=0$: $\sqrt{2}\left(\cos\dfrac{7\pi}{12}+i\sin\dfrac{7\pi}{12}\right)=\sqrt{2}\left(-\sin\dfrac{\pi}{12}+i\cos\dfrac{\pi}{12}\right)=\sqrt{2}\left(-\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}+\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}i\right)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\left(\sqrt{2-\sqrt{3}}-i\sqrt{2+\sqrt{3}}\right)$ - совпадение со вторым значением, приведенным в ответе;
при $k=2$: $\sqrt{2}\left(\cos\dfrac{23\pi}{12}+i\sin\dfrac{23\pi}{12}\right)=\sqrt{2}\left(\cos\left(-\dfrac{\pi}{12}\right)+i\sin\left(-\dfrac{\pi}{12}\right)\right)=\sqrt{2}\left(\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}-\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}i\right)$ - совпадает с первым значением;
а вот при $k=1$ уже не будет совпадения с тем, что приведено в ответе:
$\sqrt{2}\left(\cos\dfrac{5\pi}{4}+i\sin\dfrac{5\pi}{4}\right)=\sqrt{2}\left(-\cos\dfrac{\pi}{4}-i\sin\dfrac{\pi}{4}\right)=-1-i$

И у кого ошибка?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 573 ]  На страницу Пред.  1 ... 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33 ... 39  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group