2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Непонятные моменты в многомерной теореме Лагранжа
Сообщение17.03.2023, 05:32 


17/03/23
28
Я спрошу наверное очень глупый вопрос, но я думаю что это довольно тонкий момент который я не замечал раньше когда читал доказательство этой теоремы некоторое время назад.

Теорема (многомерная теорема Лагранжа). Предположим, что $G\subset \mathbb{R}^m$ открытое множество и $f:G\to \mathbb{R}$. Предположим, что $x,y\in G$ и целый отрезок $[x,y]$, соединяющий $x$ и
$y$ содержится в $G$. Если $f$ непрерывна на $[x,y]$ и дифференцируема на $(x,y)$, тогда $$f(y)-f(x)=f'(\xi)(y-x),$$ где $\xi\in (x,y)$.

Доказательство в целом не очень сложное, но при детальном чтении появился один момент, который я не могу обосновать детально.

Доказательство. Можно рассмотреть следующую функцию $\varphi:[0,1]\to [x,y]$ определяемая так: $t\mapsto x+t(y-x)$. Мы можем сузить функцию $f$ на отрезок $[x,y]$ , т.е. $f:[x,y]\to \mathbb{R}$ и рассмотреть их композицию $F:=f\circ \varphi:[0,1]\to \mathbb{R}$. Несложно проверить, что $F$ непрерывна на отрезке $[0,1]$ и дифференцируема на $(0,1)$ и по обычной теореме Лагранжа следует, что $\exists \theta\in (0,1)$ такое, что $F(1)-F(0)=F'(\theta)$. Левая часть очевидно равна $f(y)-f(x)$. Правая часть по многомерной теореме о дифференцировании композиций есть композиция дифференциалов $$F'(\theta)=(f\circ \varphi)'(\theta)=f'(\varphi(\theta))\circ \varphi'(\theta)=f'(x+\theta(y-x))\circ \varphi'(\theta).$$

Стоит заметить, что $f'\in\mathcal{L}(\mathbb{R}^m;\mathbb{R})$ и $\varphi'\in \mathcal{L}(\mathbb{R};\mathbb{R}^m)$ дано так: $\varphi'(\theta):h\mapsto h(y-x)$ и следовательно $f'\circ \varphi'\in \mathcal{L(\mathbb{R};\mathbb{R})}$, где через $\mathcal{L}(X;Y)$ я обозначаю множество всех линейных преобразований из $X$ в $Y$.

Таким образом, $F(1)-F(0)$ есть вещественное число. Однако, правая часть $f'(x+\theta(y-x))\circ \varphi'(\theta)$ есть линейная функция из $\mathbb{R}$ в $\mathbb{R}$, то есть число равно функции. Они не могут быть равны так как это объекты совершенно другой природы.

Таким образом у меня возникают два вопроса:

1. Что не так с равенство $F(1)-F(0)=F'(\theta)$ когда мы раскрываем правую часть используя Chain Rule? Может ли кто-нибудь детально и внятно это обосновать. Хотелось бы услышать конкретное рассуждение, а не интуитивное.

2. Как основательно показать, что правая часть $f'(\xi)(y-x)$? Здесь $f'(\xi)(y-x)$ имеет смысл поскольку $f'(\xi)\in \mathcal{L}(\mathbb{R}^m;\mathbb{R})$ и следовательно $f'(\xi)(y-x)\in \mathbb{R}$.

Я был бы крайне благодарен, если бы кто-то ответил на моив опросы пожалуйста! Спасибо Вам!

 Профиль  
                  
 
 Re: Непонятные моменты в многомерной теореме Лагранжа
Сообщение17.03.2023, 06:15 


22/11/22
440
Да, часто производная определяется как линейный оператор (который на самом деле дифференциал), и тут начинается путаница.
Дифференциал - это без всякого сомнения линейный оператор (из касательного пространства в одной точке в касательное пространство в другой), но если Вы называете дифференциал производной в правой части
Mad_Max в сообщении #1585718 писал(а):
$$F'(\theta)=(f\circ \varphi)'(\theta)=f'(\varphi(\theta))\circ \varphi'(\theta)=f'(x+\theta(y-x))\circ \varphi'(\theta).$$

то нужно называть производную дифференциалом и в левой.

Или, иначе, помнить, что на самом деле у вас справа стоит композиция линейных операторов, у которой матрица производной, она же матрица Якоби, совпадает с произведением матриц Якоби. Слева при этом будет число (матрица 1x1), то есть то, что вы и ожидаете увидеть на этом месте.

Mad_Max в сообщении #1585718 писал(а):
Что не так с равенство $F(1)-F(0)=F'(\theta)$

Иначе ваш вопрос возник бы уже здесь - производная как линейное отображение в одномерном случае не имеет никакого отношения к вашим выкладкам и к Chain Rule. Но и к теореме Лагранжа, слава богу, тоже не имеет - потому что рассматривается коэффициент, задающий линейное отображение. А не все оно.

Mad_Max в сообщении #1585718 писал(а):
2. Как основательно показать, что правая часть $f'(\xi)(y-x)$?

Если все мои слова выше поняты, то вопрос должен быть снят.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непонятные моменты в многомерной теореме Лагранжа
Сообщение17.03.2023, 06:21 
Заслуженный участник


13/12/05
4517
Mad_Max в сообщении #1585718 писал(а):
$F(1)-F(0)=F'(\theta)$

Запишите его а виде $F(1)-F(0)=F'(\theta)\cdot 1$ , где $1$ -- это вектор $dt$ и всё станет логично. Линейный оператор из $\mathbb  R$ в $\mathbb  R$ есть умножение на действительное число.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непонятные моменты в многомерной теореме Лагранжа
Сообщение17.03.2023, 07:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6590
Mad_Max в сообщении #1585718 писал(а):
Правая часть по многомерной теореме о дифференцировании композиций есть композиция дифференциалов $$F'(\theta)=(f\circ \varphi)'(\theta)=f'(\varphi(\theta))\circ \varphi'(\theta)=f'(x+\theta(y-x))\circ \varphi'(\theta).$$

Тут, наверное, можно так записать:
$F'(\theta) = f'(x+\theta(y-x)) \cdot (y-x)$ , где точка обозначает скалярное произведение, а штрих при $f$- градиент.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непонятные моменты в многомерной теореме Лагранжа
Сообщение17.03.2023, 13:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6590
Mad_Max в сообщении #1585718 писал(а):
дано так: $\varphi'(\theta):h\mapsto h(y-x)$

Что-то я такую запись недопонял. Из какого пространства у нас тут $h$ ? Почему бы не записать так: $\varphi'(\theta) =y-x $ ? Ну, или так: $\varphi'(\theta, h) = h \cdot (y-x) $ , где точка - скалярное произведение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непонятные моменты в многомерной теореме Лагранжа
Сообщение17.03.2023, 14:06 


17/03/23
28
Combat Zone в сообщении #1585721 писал(а):
Да, часто производная определяется как линейный оператор (который на самом деле дифференциал), и тут начинается путаница.
Дифференциал - это без всякого сомнения линейный оператор (из касательного пространства в одной точке в касательное пространство в другой), но если Вы называете дифференциал производной в правой части
Mad_Max в сообщении #1585718 писал(а):
$$F'(\theta)=(f\circ \varphi)'(\theta)=f'(\varphi(\theta))\circ \varphi'(\theta)=f'(x+\theta(y-x))\circ \varphi'(\theta).$$

то нужно называть производную дифференциалом и в левой.

Или, иначе, помнить, что на самом деле у вас справа стоит композиция линейных операторов, у которой матрица производной, она же матрица Якоби, совпадает с произведением матриц Якоби. Слева при этом будет число (матрица 1x1), то есть то, что вы и ожидаете увидеть на этом месте.

Mad_Max в сообщении #1585718 писал(а):
Что не так с равенство $F(1)-F(0)=F'(\theta)$

Иначе ваш вопрос возник бы уже здесь - производная как линейное отображение в одномерном случае не имеет никакого отношения к вашим выкладкам и к Chain Rule. Но и к теореме Лагранжа, слава богу, тоже не имеет - потому что рассматривается коэффициент, задающий линейное отображение. А не все оно.

Mad_Max в сообщении #1585718 писал(а):
2. Как основательно показать, что правая часть $f'(\xi)(y-x)$?

Если все мои слова выше поняты, то вопрос должен быть снят.

Спасибо за то, что уделили время и написали комментарий, но скажу Вам честно я не совсем понял что Вы имеете. На интуитивном уровне это ясно. Но бы мне надо эти переходы формализовать.

-- 17.03.2023, 14:09 --

Padawan в сообщении #1585722 писал(а):
Mad_Max в сообщении #1585718 писал(а):
$F(1)-F(0)=F'(\theta)$

Запишите его а виде $F(1)-F(0)=F'(\theta)\cdot 1$ , где $1$ -- это вектор $dt$ и всё станет логично. Линейный оператор из $\mathbb  R$ в $\mathbb  R$ есть умножение на действительное число.

Возникает следующий вопрос: Как мы понимаем $F'(\theta)$ тут? Как число или линейную функцию? Здесь $F(t)$ это обычная функция вещественной переменной.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непонятные моменты в многомерной теореме Лагранжа
Сообщение17.03.2023, 14:43 
Заслуженный участник


13/12/05
4517
Mad_Max
Как линейную функцию, задаваемую числом (матрица $1\times 1$)

 Профиль  
                  
 
 Re: Непонятные моменты в многомерной теореме Лагранжа
Сообщение17.03.2023, 17:10 


17/03/23
28
Padawan
Теперь я окончательно запутался. Поскольку $F$ это вещественнозначная функция одной переменной, то ее производная это число. Теперь мы это определяем как линейный оператор. Можем ли мы это обсудить более детально?

-- 17.03.2023, 17:14 --

мат-ламер
$\varphi'(\theta):\mathbb{R}\to \mathbb{R}^m$ линейный оператор задаваемый как $h\to h(x-y)$. Можете ли Вы более детально объяснить то что Вы написали?

 Профиль  
                  
 
 Re: Непонятные моменты в многомерной теореме Лагранжа
Сообщение17.03.2023, 17:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6590
Mad_Max в сообщении #1585767 писал(а):
Поскольку $F$ это вещественнозначная функция одной переменной, то ее производная это число. Теперь мы это определяем как линейный оператор.

Извините, что вмешиваюсь. Рассмотрим функцию $y=5x$ . Что у нас $5$ ? Число? А может быть линейный оператор (из $R^1$ в $R^1$ )? А может быть линейный функционал? А может быть вообще ковектор? Помогите поправильнее обозвать эту пятёрку :D

-- Пт мар 17, 2023 18:23:36 --

Mad_Max в сообщении #1585767 писал(а):
Можете ли Вы более детально объяснить то что Вы написали?

Процитируйте мою писанину, чтобы я понял, что именно вас интересует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непонятные моменты в многомерной теореме Лагранжа
Сообщение17.03.2023, 17:25 


17/03/23
28
мат-ламер
Извините пожалуйста, но не понимаю смысл Вашей шутки. Мне кажется, что был задан нормальный вопрос. $y=5x$ - функция, а коэффициент 5 - это число.

-- 17.03.2023, 17:30 --

мат-ламер в сообщении #1585769 писал(а):
Процитируйте мою писанину, чтобы я понял, что именно вас интересует.
Вопрос был задан в самом начале, но я все равно повторю еще раз. С помощью композиции мы определили новую функцию $F:[0,1]\to \mathbb{R}$, а именно $F(t)=f\circ \varphi(t)$. Многомерный chain rule нам говорит, что $F'(t)=f'(\varphi(t))\circ \varphi'(t)$. Но слева обычная функция а значит ее производная это обычное число, а справа стоит линейный оператор. Равенства числа и линейного оператора меня очень сильно смущает.

-- 17.03.2023, 17:31 --

Я бы хотел получить детальное рассуждение на свой вопрос. Я думал над этим долго, но к сожалению не могу дать детальное математическое рассуждение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непонятные моменты в многомерной теореме Лагранжа
Сообщение17.03.2023, 17:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6590
Mad_Max в сообщении #1585767 писал(а):
мат-ламер
$\varphi'(\theta):\mathbb{R}\to \mathbb{R}^m$ линейный оператор

А может $ \varphi'(\theta):\mathbb{R}^m \to \mathbb{R}$ ? То есть это линейный функционал на $\mathbb{R}^m $, то есть элемент сопряжённого пространства к $\mathbb{R}^m$ . А значение этого функционала на каком-то векторе $z$ есть скалярное произведение $(y-x)\cdot z$ .

-- Пт мар 17, 2023 19:00:57 --

Mad_Max в сообщении #1585767 писал(а):
мат-ламер
$\varphi'(\theta):\mathbb{R}\to \mathbb{R}^m$ линейный оператор

Он в начале был оператором $\varphi'(\theta):\mathbb{R}\to \mathbb{R}^m$ . А затем в цепном правиле он стал оператором $\varphi'(\theta):\mathbb{R}^m\to \mathbb{R}$ . То есть где-то произошёл переход от элемента пространства к элементу сопряжённого пространства .

Как мне кажется. Сам запутался и хочу разобраться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непонятные моменты в многомерной теореме Лагранжа
Сообщение17.03.2023, 18:10 


17/03/23
28
мат-ламер
Что-то Вы походу напутали. Задана функция $\varphi: [0,1]\to [x,y]\subset \mathbb{R}^m$ определенная как $\varphi(t)=x+t(y-x)$. Ее дифференциал в точке $\theta\in (0,1)$ есть линейный оператор $\varphi'(\theta):\mathbb{R}\to \mathbb{R}^m$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непонятные моменты в многомерной теореме Лагранжа
Сообщение17.03.2023, 18:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6590
Mad_Max в сообщении #1585770 писал(а):
мат-ламер
Извините пожалуйста, но не понимаю смысл Вашей шутки. Мне кажется, что был задан нормальный вопрос. $y=5x$ - функция, а коэффициент 5 - это число.

Смысл моей шутки в том, что мы иногда (особенно в текстах на форуме) допускаем некоторые формальные неточности. Но это не мешает взаимопониманию.

Рассмотрим вопрос. Пусть у нас $f:R^n\to R$ некоторая скалярная функция и $\nabla f(x^*)$ - её дифференциал (производная , градиент) в точке $x^*$. Этот дифференциал - это что - вектор или ковектор (элемент сопряжённого пространства) или может быть линейная функция? Можно назвать это ковектором. А можно и линейным функционалом (линейной функцией). Ведь элемент сопряжённого пространства - это линейный функционал. Без разницы как назвать. Лишь бы понятно было.

-- Пт мар 17, 2023 19:16:52 --

Mad_Max в сообщении #1585773 писал(а):
мат-ламер
Что-то Вы походу напутали. Задана функция $\varphi: [0,1]\to [x,y]\subset \mathbb{R}^m$ определенная как $\varphi(t)=x+t(y-x)$. Ее дифференциал в точке $\theta\in (0,1)$ есть линейный оператор $\varphi'(\theta):\mathbb{R}\to \mathbb{R}^m$.

Я с этим согласен полностью. У меня лишь предположение, что дальше мы переходим к сопряжённому пространству. Но в деталях я сам хочу разобраться. Чуть позже отпишусь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непонятные моменты в многомерной теореме Лагранжа
Сообщение17.03.2023, 18:21 


17/03/23
28
мат-ламер
не думаю, что здесь делают переход в сопряженное пространство. Я учил все это по книжке Зорича и не помню чтобы там такого делали. Но Вы поняли мой вопрос, а именно что мне непонятно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Непонятные моменты в многомерной теореме Лагранжа
Сообщение17.03.2023, 18:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6590
У меня вопрос. К этой формуле претензии есть?
мат-ламер в сообщении #1585724 писал(а):
Тут, наверное, можно так записать:
$F'(\theta) = f'(x+\theta(y-x)) \cdot (y-x)$ , где точка обозначает скалярное произведение, а штрих при $f$- градиент.

Я её по памяти изобразил. Сейчас посмотрю в учебниках. Откуда там в конце возникает множитель скалярного произведения $\cdot (y-x)$ ? Так это элемент сопряжённый к $\varphi '$ .

-- Пт мар 17, 2023 19:26:42 --

Mad_Max в сообщении #1585777 писал(а):
мат-ламер
не думаю, что здесь делают переход в сопряженное пространство. Я учил все это по книжке Зорича и не помню чтобы там такого делали.

Может оно и так. Я уже и сам запутался. Отпишусь чуть позже.
Mad_Max в сообщении #1585777 писал(а):
Но Вы поняли мой вопрос, а именно что мне непонятно?

Я уже ничего не соображаю. Чуть позже отпишусь.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 28 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group