Кострикин. Курс алгебры, задачник

[мат-ламер]

А в моём издании 2009-го года в ответе к этой задаче стоит корень шестой степени.

[GAA]

Если приводить ответ в "досчитанном" виде, то
$2\sqrt[6]1 = \left\{2, -2, \sqrt{-2 - 2 \sqrt 3 i}, -\sqrt{-2 - 2 \sqrt 3 i}, \sqrt{-2 + 2\sqrt 3 i}, -\sqrt{-2 + 2\sqrt 3 i}\right\}$

[Sinoid]

GAA в сообщении #1585683 писал(а):

Если приводить ответ в "досчитанном" виде, то
$2\sqrt[6]1 = \left\{2, -2, \sqrt{-2 - 2 \sqrt 3 i}, -\sqrt{-2 - 2 \sqrt 3 i}, \sqrt{-2 + 2\sqrt 3 i}, -\sqrt{-2 + 2\sqrt 3 i}\right\}$

Честно говоря, это не совсем "досчитанный" вид . А еще я не совсем понимаю, зачем сюда привлекать еще и квадратные корни, если можно сразу и практически бесплатно не считая, через формулу Муавра: $2\sqrt[6]{1}=2\sqrt[6]{\cos0+i\sin0}$, $\dfrac{0+2\pi k}{6}=\dfrac{\pi k}{3}$, $k=0,\,1,\,2,\,3,\,4,\,5$. Тогда получаем следующие значения искомого корня:
при $k=0$: $2(\cos0+i\sin0)=2$;
при $k=1$: $2\left(\cos\dfrac{\pi}{3}+i\sin\dfrac{\pi}{3}\right)=1+\sqrt{3}i$;
при $k=2$: $2\left(\cos\dfrac{2\pi}{3}+i\sin\dfrac{2\pi}{3}\right)=-1+\sqrt{3}i$;
при $k=3$: $2(\cos\pi+i\sin\pi)=-2$;
при $k=4$: $2\left(\cos\dfrac{4\pi}{3}+i\sin\dfrac{4\pi}{3}\right)=-1-\sqrt{3}i$;
при $k=5$: $2\left(\cos\dfrac{5\pi}{3}+i\sin\dfrac{5\pi}{3}\right)=1-\sqrt{3i}$;
Спасибо всем за отклики!

[GAA]

Смысл в моём сообщении был в 6 значениях. А форма была выбрана в расчёте на Ваш гневный ответ. Он и последовал. Значит всё хорошо.

-- Fri 17.03.2023 00:27:42 --

И тут, как часто и случается, вопрос в каком смысле ответ проще. В одних случаях один ответ проще. В других случаях другой.

[Sinoid]

В ответе к букве л) зачем-то поставили мало того, что ненужную, еще и одиночную закрывающую фигурную скобку. А вот в издании 2009 года ее уже нет. Они, видать, когда в больших фигурных скобках \left\{ \right\} писали, забыли, что в них находятся и еще раз закрыли фигурные скобки.

-- 17.03.2023, 02:45 --

GAA в сообщении #1585707 писал(а):

А форма была выбрана в расчёте на Ваш гневный ответ. Он и последовал. Значит всё хорошо.

-- 17.03.2023, 02:46 --

Спасибо.

[GAA]

Sinoid в сообщении #1585708 писал(а):

Спасибо.

А я бы на мой пост задал бы вопрос: «А в каком смысле там квадратные корни?»

[мат-ламер]

GAA в сообщении #1585709 писал(а):

«А в каком смысле там квадратные корни?»

Квадратные корни из действительных чисел в ответах понимаются в действительном смысле. Иначе получается рекурсия.

[Sinoid]

GAA в сообщении #1585709 писал(а):

Sinoid в сообщении #1585708 писал(а):

Спасибо.

А я бы на мой пост задал бы вопрос: «А в каком смысле там квадратные корни?»

Извлечение корней, квадратных корней, мне видится настолько рутинной процедурой, что спрашивать еще что-то по этому вопросу мне как-то не пришло в голову. Корни я извлеку как обычно, с помощью формулы Муавра, некоторые аспекты доказательства которой я обсудил в этой теме выше. Да, квадратные корни из комплексных чисел можно еще извлекать приемом, описанным в Курсе высшей алгебры Куроша:

Так что повода задавать еще 1 вопрос про этот ваш пост:

GAA в сообщении #1585683 писал(а):

Если приводить ответ в "досчитанном" виде, то
$2\sqrt[6]1 = \left\{2, -2, \sqrt{-2 - 2 \sqrt 3 i}, -\sqrt{-2 - 2 \sqrt 3 i}, \sqrt{-2 + 2\sqrt 3 i}, -\sqrt{-2 + 2\sqrt 3 i}\right\}$

я и правда не увидел, вопреки даже замечанию в начале скрина о бо́льшей трудности при извлечении корней из комплексных чисел, чем при возведении их в натуральную степень. Это я говорю именно про квадратные корни, когда упоминаю про то, что говорится на скрине после замечания о бо́льшей трудности. Или там и вправду есть еще какие-то подводные камни? Расскажите тогда, пожалуйста, что вы имели ввиду.

[мат-ламер]

GAA в сообщении #1585709 писал(а):

А я бы на мой пост задал бы вопрос: «А в каком смысле там квадратные корни?»

Только сейчас дошёл смысл поста. Оказывается пост с вложенными квадратными корнями в каком-то смысле был провокационным. Возможно это получилось не преднамеренно.

[Sinoid]

мат-ламер
Ну я в свете моего сегодняшнего поста от 18:40 правильно или нет понимаю то, что хотел мне сказать уважаемый GAA? Скажите вы, пока нет его.

[GAA]

Sinoid в сообщении #1585771 писал(а):

Расскажите тогда, пожалуйста, что вы имели ввиду.

Квадратные корни от комплексных аргументов понимаются в том посте в смысле главного значения. (Я не знаю дошли ли Вы при изучении до этого понятия.)

-- Fri 17.03.2023 18:02:46 --

(Но это в данном месте, скорее всего, отступление от темы.)

[Sinoid]

GAA в сообщении #1585788 писал(а):

в смысле главного значения.

Вы имеете ввиду то, про что написано, например, вот в этом месте? Приведу цитату фрагмента, который я имею ввиду, из того места, еще здесь:

Цитата:

Поскольку аргумент любого комплексного числа определяется с точностью до слагаемого $2k\pi$ , где $k$ - произвольное целое число, то вводится, главное значение аргумента, обозначаемое $\operatorname{arg}z$ и удовлетворяющее неравенствам:

$$-\pi<\arg z\leqslant\pi$$

? Так ни в обсуждаемом курсе алгебры Кострикина, ни в Курсе высшей алгебры Куроша этого понятия не вводится. Видел же я про главное значение аргумента в какой-то, не помню какой, книге по ТФКП у себя на компе. Сейчас на скорую руку попытался вспомнить/найти эту книгу на компе. Нет, не получилось. По этой причине я вообще считал, что главное значение аргумента - это понятие, используемое предпочтительнее в ТФКП, хотя, понятно, при желании, необходимости, это понятие можно ввести и при работе в других областях математики.

[GAA]

В упражнении 22.7 и) нужно было найти $\sqrt[6]{64}$. Этот корень имеет 6 значений, а в ответе книги (Вами) приведено выражение $2\sqrt 1$, которое имеет два значения. Я привел «ответ» в виде множества, содержащего четыре квадратных корня от комплексных чисел и два действительных числа, т.е. или значений больше 6 (чего быть не может) или различных значений 6, но часть совпадает, а как учили в школе «все элементы множества различны». Т.е. не зависимо от того, правильно ли и до конца ли выполнено решение, что-то в той записи не так. Чтобы всё было на первый взгляд правильно нужно предположить, что учитывается только одно (главное) значение квадратного корня. Имеются различные договорённости выделения главных значений, но в контексте данного обсуждения достаточно, что выбирается только одно значение, например, с минимальным аргументом.

Провокация была направлена на проверку Вами числа значений. В общем, очень уж мелко это, не на то сразу обращает внимание собеседник, не очень интересная головоломка. Не буду больше развивать отступление от темы.
[Значения взялись так $\sqrt[6]64 = \sqrt[2]{\sqrt[3]{64}}$...]

[Sinoid]

(Оффтоп)

Я днем напишу: вчера не смог.

[Sinoid]

GAA ясно. Да, все так и есть. При случае повторите, пожалуйста, эту или подобную этой уловку. Спасибо.

Наконец, последняя неполучившаяся у меня буква в этом упражнении. Это буква п). В ответе, как видно из приведенного мной скрина на предыдущей странице, среди прочих, присутствует число $1-i$. Оно-то у меня и не получается. Вместо него у меня получается $-1-i$.

(Вот мои расчеты)

$\sqrt[3]{2-2i}=\sqrt{2}\cdot\sqrt[3]{\dfrac{1}{\sqrt{2}}-\dfrac{1}{\sqrt{2}}i}=\sqrt{2}\cdot\sqrt[3]{\cos\dfrac{7\pi}{4}+i\sin\dfrac{7\pi}{4}}$. Далее, $\dfrac{\dfrac{7\pi}{4}+2\pi k}{3}=\dfrac{(8k+7)\pi}{12}$, $k=0,\,1,\,2$. Поэтому, принимая во внимание вычисленные мною ранее значения $\cos\dfrac{\pi}{12}$ и $\sin\dfrac{\pi}{12}$:

Sinoid в сообщении #1585367 писал(а):

$\sin\dfrac{\pi}{12}=\sqrt{\dfrac{1-\cos\dfrac{\pi}{6}}{2}}=\sqrt{\dfrac{1-\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{2}}=\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}$, $\cos\dfrac{\pi}{12}=\sqrt{\dfrac{1+\cos\dfrac{\pi}{6}}{2}}=\sqrt{\dfrac{1+\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{2}}=\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}$.

, получаю:
при $k=0$: $\sqrt{2}\left(\cos\dfrac{7\pi}{12}+i\sin\dfrac{7\pi}{12}\right)=\sqrt{2}\left(-\sin\dfrac{\pi}{12}+i\cos\dfrac{\pi}{12}\right)=\sqrt{2}\left(-\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}+\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}i\right)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\left(\sqrt{2-\sqrt{3}}-i\sqrt{2+\sqrt{3}}\right)$ - совпадение со вторым значением, приведенным в ответе;
при $k=2$: $\sqrt{2}\left(\cos\dfrac{23\pi}{12}+i\sin\dfrac{23\pi}{12}\right)=\sqrt{2}\left(\cos\left(-\dfrac{\pi}{12}\right)+i\sin\left(-\dfrac{\pi}{12}\right)\right)=\sqrt{2}\left(\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}-\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}i\right)$ - совпадает с первым значением;
а вот при $k=1$ уже не будет совпадения с тем, что приведено в ответе:
$\sqrt{2}\left(\cos\dfrac{5\pi}{4}+i\sin\dfrac{5\pi}{4}\right)=\sqrt{2}\left(-\cos\dfrac{\pi}{4}-i\sin\dfrac{\pi}{4}\right)=-1-i$

И у кого ошибка?