Докажите сначала, что если

,

и

сходится, то

(это одна из задач выше в Кудрявцеве).
Да, спасибо, этого было бы достаточно. Но пока не совсем понимаю, как это доказать.
Предположим, что

,

и

сходится, но при этом

. Тогда существует такая подпоследовательность

, что

. Тогда

. Нам нужно доказать, что ряд

расходится.
В таком случае (учитывая, что

невозрастает):

.
Соответственно, ряд справа должен расходиться, чтобы утверждение теоремы было верно (иначе мы сможем предъвить ряд-контпример). Получается, я свел задачу к следующей: доказать, что для любой возрастающей последовательности натуральных чисел

следующий ряд расходится:

Но как это доказать? что-то не особо получается... Понятно, что для

мы получим гармонический ряд... но в общем что-то непонятно