2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Доказать сходимость ряда
Сообщение16.03.2023, 19:42 


14/02/20
832
Задача из Кудрявцева.

Доказать, что если ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{\sqrt n}$ сходится и $a_{n+1}\leqslant a_n$ и $a_n\geqslant 0$, то также сходится и ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n^2$.

Тут я много чего думал, но что-то ничего существенно не помогло. Понятно, что "на пальцах" $a_n$ должно убывать "быстрее", чем $\frac 1 {\sqrt n}$, чтобы ряд сходился... Но, конечно, такой подход не является последовательным, и есть какое-то нормальное решение.

Особенно неясно, почему так важно невозрастание последовательности. Хочется поразмыслить о разности между соседними членами $a_n$, которая будет неотрицательной, то есть, скажем, о телескопическом ряде, но тоже не совсем понятно, куда это приткнуть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать сходимость ряда
Сообщение16.03.2023, 20:04 
Заслуженный участник


13/12/05
4518
Воспользуйтесь следующим признаком: https://en.m.wikipedia.org/wiki/Cauchy_condensation_test

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать сходимость ряда
Сообщение16.03.2023, 20:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2736
Физтех
Докажите сначала, что если $b_n>0$, $b_{n+1} \le b_n$ и $\sum b_n$ сходится, то $\lim{nb_n}=0$ (это одна из задач выше в Кудрявцеве). А потом просто заметьте, что $a_n^2=(a_n/\sqrt{n})\cdot \sqrt{n}a_n$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать сходимость ряда
Сообщение16.03.2023, 21:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6591
Для всех достаточно больших $N$ выполняется $\sum \frac{a_n}{\sqrt{n}}<\sum \frac{1}{n}$ (суммируются $N$ членов). Умножим каждый член этого неравенства на $a_n\sqrt{n}$ .

Однако, здесь используется, что для положительных невозрастастающих $a_i$ и $b_i$ и положительных $c_i$ из $a_1+...+a_n<b_1+...+b_n$ следует $a_1c_1+...+a_nc_n < b_1c_1+...+b_nc_n$ , что отнюдь неочевидно, но можно доказать последовательным делением последнего неравенства на $c_i$ . Но всё равно как-то сложно получается. По крайней мере сложней, чем в предыдущих постах. :-(

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать сходимость ряда
Сообщение17.03.2023, 06:11 
Заслуженный участник


12/08/10
1608
мат-ламер в сообщении #1585690 писал(а):
Однако, здесь используется, что для положительных невозрастастающих $a_i$ и $b_i$ и положительных $c_i$ из $a_1+...+a_n<b_1+...+b_n$ следует $a_1c_1+...+a_nc_n < b_1c_1+...+b_nc_n$

Не похоже на правду. $c_i$ тоже должны возрастать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать сходимость ряда
Сообщение17.03.2023, 06:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6591
Null в сообщении #1585720 писал(а):
Не похоже на правду. $c_i$ тоже должны возрастать?

Да, извиняюсь. Ерунду написал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать сходимость ряда
Сообщение18.03.2023, 14:00 


14/02/20
832
ShMaxG в сообщении #1585688 писал(а):
Докажите сначала, что если $b_n>0$, $b_{n+1} \le b_n$ и $\sum b_n$ сходится, то $\lim{nb_n}=0$ (это одна из задач выше в Кудрявцеве).

Да, спасибо, этого было бы достаточно. Но пока не совсем понимаю, как это доказать.

Предположим, что $b_n>0$, $b_{n+1} \le b_n$ и $\sum b_n$ сходится, но при этом $\lim{nb_n}\neq 0$. Тогда существует такая подпоследовательность $n_k$, что $n_kb_{n_k}>\varepsilon$. Тогда $b_{n_k}>\frac {\varepsilon}{n_k}$. Нам нужно доказать, что ряд $\sum b_k$ расходится.

В таком случае (учитывая, что $b_{n_k}$ невозрастает):

$\sum\limits_{p=1}^{\infty}b_p=\sum\limits_{p=1}^{n_1}b_p+\sum\limits_{p=n_1+1}^{n_2}b_p+\sum\limits_{p=n_2+1}^{n_3}b_p+...>\varepsilon (1+\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac {n_{k+1}-n_k}{n_{k+1}})$.

Соответственно, ряд справа должен расходиться, чтобы утверждение теоремы было верно (иначе мы сможем предъвить ряд-контпример). Получается, я свел задачу к следующей: доказать, что для любой возрастающей последовательности натуральных чисел $n_k$ следующий ряд расходится: $$$\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac {n_{k+1}-n_k}{n_{k+1}}$$
Но как это доказать? что-то не особо получается... Понятно, что для $n_k=k$ мы получим гармонический ряд... но в общем что-то непонятно

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать сходимость ряда
Сообщение18.03.2023, 14:19 
Заслуженный участник


13/12/05
4518
artempalkin в сообщении #1585848 писал(а):
ShMaxG в сообщении #1585688

писал(а):
Докажите сначала, что если $b_n>0$, $b_{n+1} \le b_n$ и $\sum b_n$ сходится, то $\lim{nb_n}=0$ (это одна из задач выше в Кудрявцеве).
Да, спасибо, этого было бы достаточно. Но пока не совсем понимаю, как это доказать.

Пусть $n$ чётное, напишите оценку для суммы $\sum\limits_{k=n/2+1}^n b_k$, которая по критерию Коши стремится к нулю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать сходимость ряда
Сообщение18.03.2023, 14:49 


14/02/20
832
Padawan в сообщении #1585853 писал(а):
Пусть $n$ чётное, напишите оценку для суммы $\sum\limits_{k=n/2+1}^n b_k$, которая по критерию Коши стремится к нулю.

Да, согласен, спасибо! Так доказывается через критерий Коши расходимость гармонического ряда, но мне что-то в голову не пришло применить...

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать сходимость ряда
Сообщение18.03.2023, 19:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2736
Физтех
artempalkin в сообщении #1585848 писал(а):
Да, спасибо, этого было бы достаточно. Но пока не совсем понимаю, как это доказать.
Можно применить критерий Коши сходимости рядов, рассмотрев $nb_{2n}$ и воспользовавшись монотонностью, получится, что $2nb_{2n}\to0$. Из монотонности также последует $(2n+1)b_{2n+1}\to0$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group