2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Контурное интегрирование с соприкасающимися контурами
Сообщение12.03.2023, 23:19 


24/07/21
71
Москва
Изначально есть интеграл
$$\oint_{C_i}\oint_{C_j}\ln(r)dx_idx_j+\ln(r)dy_idy_j+\ln(r)dz_idz_j,\qquad r=\sqrt{(x_i-x_j)^2+(y_i-y_j)^2+(z_i-z_j)^2}$$
Есть два квадрата, которые соприкасаются одной стороной, скажем, на оси $x$
Тогда получается для этих двух линий
$$\int_a^b\int_c^d\ln\sqrt{(x_i-x_j)^2}dx_idx_j$$
И возникает проблема, поскольку результат интегрирования содержит в себе члены $\ln\left((a-d)^2\right)$ и, если точки $a$ и $d$ совпадают, то возникает неопределённость

Вторым вопросом является то, а как вообще такие интегралы считаются численно? Нужно ли каждый раз специально проверять такие случаи и как-то отдельно их обрабатывать или есть какая-то общая методика?

 Профиль  
                  
 
 Re: Контурное интегрирование с соприкасающимися контурами
Сообщение13.03.2023, 01:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11535
apt в сообщении #1585236 писал(а):
Вторым вопросом является то, а как вообще такие интегралы считаются численно?
Так же, как и любые другие. А какой был первый вопрос?

 Профиль  
                  
 
 Re: Контурное интегрирование с соприкасающимися контурами
Сообщение13.03.2023, 06:15 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
apt в сообщении #1585236 писал(а):
И возникает проблема, поскольку результат интегрирования содержит в себе члены $\ln\left((a-d)^2\right)$ и, если точки $a$ и $d$ совпадают, то возникает неопределённость
Интеграл $\int\limits_0^1\ln x\;dx$ сходится.
Есть члены вида $(a-d)\ln|a-d|$. Это выражение стремится к нулю при $a-d\to 0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Контурное интегрирование с соприкасающимися контурами
Сообщение13.03.2023, 09:47 


24/07/21
71
Москва
Утундрий
svv
Действительно, не ясно выразился
Интеграл
$$
4\int_a^b\int_c^d\ln\sqrt{(x_i-x_j)^2}dx_idx_j=2 a^2 \ln \left[\frac{1}{(a-c)(a-d)}\right]-6 (a-b) (c-d)+c (2 a-c) \ln\left[(a-c)^2\right]+
$$
$$+d (d-2 a) \ln \left[(a-d)^2\right]+2b^2 \ln \left[\frac{b-c}{b-d}\right]+c (c-2 b) \ln\left[(b-c)^2\right]-d (2 b+d) \ln\left[(b-d)^2\right]$$
И он расходится при $d\to a$ или $c\to b$ (я выражение немного упростил, но Maple или Mathematica не могут посчитать предел и у изначального выражения)
Аналитическое вычисление данного интеграла при совпадении двух точек (т.е. когда $a=d$ или $b=c$ или и то и другое) и было первым вопросом
Вторым вопросом является численное вычисление такого интеграла даже если конечные точки не совпадают. Если его считать в лоб, при подстановке некоторых $x_i, x_j$ оказывается ситуация, когда $|x_i-x_j|\to 0$, тогда $\ln\sqrt{(x_i-x_j)^2}\to -\infty$
UPD: линии $ab$ и $cd$ лежат на одной и той же линии

 Профиль  
                  
 
 Re: Контурное интегрирование с соприкасающимися контурами
Сообщение13.03.2023, 12:37 
Аватара пользователя


11/12/16
13195
уездный город Н
apt
Если взять неопределенный интеграл:
apt в сообщении #1585236 писал(а):
$$\int_a^b\int_c^d\ln\sqrt{(x_i-x_j)^2}dx_idx_j$$


И немного упростить логарифмы в результате, то с логарифмами останется только член вида $(x_i-x_j)^2 \ln (x_i - x_j)^2$.
Который стремится к нулю при $x_i \to x_j$

Вам об этом выше писал уважаемый svv, но, видимо, осталось незамеченным.

 Профиль  
                  
 
 Re: Контурное интегрирование с соприкасающимися контурами
Сообщение13.03.2023, 14:51 


24/07/21
71
Москва
EUgeneUS
О том, что есть члены такого вида я прочитал, для чего привёл выражение, чтобы показать, что не все они такие.
Но, действительно, если полученное выражение упростить сразу, а потом уже подставлять пределы, то так и получается, спасибо.
А своё выражение я, видимо, недоупростил

 Профиль  
                  
 
 Re: Контурное интегрирование с соприкасающимися контурами
Сообщение13.03.2023, 14:53 


18/09/21
1676
apt в сообщении #1585236 писал(а):
Вторым вопросом является то, а как вообще такие интегралы считаются численно?
Если есть какие-то "нехорошие" точки, то есть смысл сделать замену переменных (можно кусочно), чтобы везде подинтегральная функция была более-менее регулярной.

 Профиль  
                  
 
 Re: Контурное интегрирование с соприкасающимися контурами
Сообщение14.03.2023, 20:39 


11/07/16
801
Команда Математики 13.2
Код:
j = Integrate[Log[RealAbs[x - y]], {x, a, b}, {y, c, d},  Assumptions -> a < b && c < d && a > 0 && c > 0] // InputForm

производит
Код:
Piecewise[{{(6*b*c - 3*c^2 - 6*b*d + 3*d^2 + 2*b^2*Log[b - c] - 4*b*c*Log[b - c] + 2*c^2*Log[b - c] -
     2*b^2*Log[b - d] + 4*b*d*Log[b - d] - 2*d^2*Log[b - d])/4,
   (a > 0 && a - b < 0 && a - c == 0 && c - d < 0 && b - d >= 0 && a > 0 && a - b < 0 && c > 0 && a - c > 0 &&
     a - d == 0) || ( !(a > 0 && b > a && c == a && d > b) &&
      !(a > 0 && b > a && c == a && Inequality[c, Less, d, LessEqual, b]) &&  !(a > 0 && b > a && c == b && d > c) &&
      !(a > 0 && b > a && c > b && d > c) &&  !(a > 0 && b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] && d > b) &&
      !(a > 0 && b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] && Inequality[a, Less, d, LessEqual, b]) &&
      !(a > 0 && b > a && Inequality[a, Less, c, Less, b] && d > b) &&
      !(a > 0 && b > a && Inequality[a, Less, c, Less, b] && Inequality[c, Less, d, LessEqual, b]) && a > 0 &&
     a - b < 0 && a - c <= 0 && b - c > 0 && c - d < 0 && b - d > 0)},
  {(-3*a*c + 3*b*c + 3*a*d - 3*b*d - a^2*Log[a - c] + 2*a*c*Log[a - c] - c^2*Log[a - c] + b^2*Log[b - c] -
     2*b*c*Log[b - c] + c^2*Log[b - c] + a^2*Log[a - d] - 2*a*d*Log[a - d] + d^2*Log[a - d] - b^2*Log[b - d] +
     2*b*d*Log[b - d] - d^2*Log[b - d])/2,  !(a > 0 && b > a && c == a && d > b) &&
     !(a > 0 && b > a && c == a && Inequality[c, Less, d, LessEqual, b]) &&  !(a > 0 && b > a && c == b && d > c) &&
     !(a > 0 && b > a && c > b && d > c) &&  !(a > 0 && b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] && d > b) &&
     !(a > 0 && b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] && Inequality[a, Less, d, LessEqual, b]) &&
     !(a > 0 && b > a && Inequality[a, Less, c, Less, b] && d > b) &&
     !(a > 0 && b > a && Inequality[a, Less, c, Less, b] && Inequality[c, Less, d, LessEqual, b]) && a > 0 &&
    a - b < 0 && c > 0 && a - c > 0 && c - d < 0 && a - d > 0}, {((a - d)^2*(-3 + 2*Log[-a + d]))/4,
   a > 0 && a - b < 0 && c > 0 && a - c > 0 && a - d < 0 && b - d >= 0 &&
     !(a > 0 && b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] && d == a) &&
     !(a > 0 && b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] && d == b) &&
     !(a > 0 && b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] && d > b) &&
     !(a > 0 && b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] && Inequality[a, Less, d, Less, b]) &&
     !(a > 0 && b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] && Inequality[c, Less, d, Less, a]) &&
     !(a > 0 && b > a && Inequality[a, LessEqual, c, Less, b] && d == b) &&
     !(a > 0 && b > a && Inequality[a, LessEqual, c, Less, b] && d > b) &&
     !(a > 0 && b > a && Inequality[a, LessEqual, c, Less, b] && Inequality[c, Less, d, Less, b])},
  {(-3*a*c + 3*b*c + 3*a*d - 3*b*d - a^2*Log[a - c] + 2*a*c*Log[a - c] - c^2*Log[a - c] + b^2*Log[b - c] -
     2*b*c*Log[b - c] + c^2*Log[b - c] - b^2*Log[b - d] + 2*b*d*Log[b - d] - d^2*Log[b - d] + a^2*Log[-a + d] -
     2*a*d*Log[-a + d] + d^2*Log[-a + d])/2, a - b < 0 && a - d < 0 && b - d > 0 && a > 0 && a - c > 0 && c > 0},
  {(-3*a*c + 3*b*c + 3*a*d - 3*b*d + b^2*Log[b - c] - 2*b*c*Log[b - c] + c^2*Log[b - c] - a^2*Log[-a + c] +
     2*a*c*Log[-a + c] - c^2*Log[-a + c] - b^2*Log[b - d] + 2*b*d*Log[b - d] - d^2*Log[b - d] + a^2*Log[-a + d] -
     2*a*d*Log[-a + d] + d^2*Log[-a + d])/2, a - b < 0 && a - c < 0 && b - d > 0 && c - d < 0 && a > 0 && b - c > 0},
  {(-6*a*c + 3*c^2 + 6*a*d - 3*d^2 - 2*a^2*Log[-a + c] + 4*a*c*Log[-a + c] - 2*c^2*Log[-a + c] + 2*a^2*Log[-a + d] -
     4*a*d*Log[-a + d] + 2*d^2*Log[-a + d])/4, (a > 0 && a - b < 0 && b - c == 0 && c - d < 0 && a > 0 &&
     a - b < 0 && a - c <= 0 && b - c > 0 && b - d == 0) || (a > 0 && a - b < 0 && a - c < 0 && b - c > 0 &&
     c - d < 0 && b - d >= 0 &&  !(a > 0 && b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] && d == a) &&
      !(a > 0 && b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] && d == b) &&
      !(a > 0 && b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] && d > b) &&
      !(a > 0 && b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] && Inequality[a, Less, d, Less, b]) &&
      !(a > 0 && b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] && Inequality[c, Less, d, Less, a]) &&
      !(a > 0 && b > a && Inequality[a, LessEqual, c, Less, b] && d == b) &&
      !(a > 0 && b > a && Inequality[a, LessEqual, c, Less, b] && d > b) &&
      !(a > 0 && b > a && Inequality[a, LessEqual, c, Less, b] && Inequality[c, Less, d, Less, b]))},
  {(3*b^2 - 6*a*c + 3*c^2 + 6*a*d - 6*b*d - 2*a^2*Log[-a + c] + 4*a*c*Log[-a + c] - 2*c^2*Log[-a + c] +
     2*a^2*Log[-a + d] - 4*a*d*Log[-a + d] + 2*d^2*Log[-a + d] - 2*b^2*Log[-b + d] + 4*b*d*Log[-b + d] -
     2*d^2*Log[-b + d])/4, a > 0 && a - b < 0 && a - c < 0 && b - c > 0 && b - d < 0 &&
     !(a > 0 && b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] && d == a) &&
     !(a > 0 && b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] && d == b) &&
     !(a > 0 && b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] && d > b) &&
     !(a > 0 && b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] && Inequality[a, Less, d, Less, b]) &&
     !(a > 0 && b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] && Inequality[c, Less, d, Less, a]) &&
     !(a > 0 && b > a && Inequality[a, LessEqual, c, Less, b] && d == b) &&
     !(a > 0 && b > a && Inequality[a, LessEqual, c, Less, b] && d > b) &&
     !(a > 0 && b > a && Inequality[a, LessEqual, c, Less, b] && Inequality[c, Less, d, Less, b])},
  {(-3*a*c + 3*b*c + 3*a*d - 3*b*d + c^2*Log[(b - c)/(a - c)] + 2*a*c*Log[-a + c] + b^2*Log[-b + c] -
     2*b*c*Log[-b + c] + a^2*Log[(a - d)/(a - c)] - 2*a*d*Log[-a + d] + d^2*Log[-a + d] - b^2*Log[-b + d] +
     2*b*d*Log[-b + d] - d^2*Log[-b + d])/2, a > 0 && a - b < 0 && b - c < 0 && c - d < 0 &&
     !(a > 0 && b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] && d == a) &&
     !(a > 0 && b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] && d == b) &&
     !(a > 0 && b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] && d > b) &&
     !(a > 0 && b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] && Inequality[a, Less, d, Less, b]) &&
     !(a > 0 && b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] && Inequality[c, Less, d, Less, a]) &&
     !(a > 0 && b > a && Inequality[a, LessEqual, c, Less, b] && d == b) &&
     !(a > 0 && b > a && Inequality[a, LessEqual, c, Less, b] && d > b) &&
     !(a > 0 && b > a && Inequality[a, LessEqual, c, Less, b] && Inequality[c, Less, d, Less, b])},
  {(-3*a*c + 3*b*c + 3*a*d - 3*b*d - a^2*Log[a - c] + 2*a*c*Log[a - c] - c^2*Log[a - c] + b^2*Log[b - c] -
     2*b*c*Log[b - c] + c^2*Log[b - c] + a^2*Log[-a + d] - 2*a*d*Log[-a + d] + d^2*Log[-a + d] - b^2*Log[-b + d] +
     2*b*d*Log[-b + d] - d^2*Log[-b + d])/2, a > 0 && a - b < 0 && c > 0 && a - c > 0 && b - d < 0},
  {(-3*a*c + 3*b*c + 3*a*d - 3*b*d + b^2*Log[b - c] - 2*b*c*Log[b - c] + c^2*Log[b - c] - a^2*Log[-a + c] +
     2*a*c*Log[-a + c] - c^2*Log[-a + c] + a^2*Log[-a + d] - 2*a*d*Log[-a + d] + d^2*Log[-a + d] - b^2*Log[-b + d] +
     2*b*d*Log[-b + d] - d^2*Log[-b + d])/2, a - b < 0 && a - c < 0 && b - d < 0 && a > 0 && b - c > 0},
  {((c - d)^2*(-3 + 2*Log[-c + d]))/4, (a > 0 && a - b < 0 && a - c == 0 && c - d < 0 && b - d >= 0 &&
      !(a > 0 && b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] && d == a) &&
      !(a > 0 && b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] && d == b) &&
      !(a > 0 && b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] && d > b) &&
      !(a > 0 && b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] && Inequality[a, Less, d, Less, b]) &&
      !(a > 0 && b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] && Inequality[c, Less, d, Less, a]) &&
      !(a > 0 && b > a && Inequality[a, LessEqual, c, Less, b] && d == b) &&
      !(a > 0 && b > a && Inequality[a, LessEqual, c, Less, b] && d > b) &&
      !(a > 0 && b > a && Inequality[a, LessEqual, c, Less, b] && Inequality[c, Less, d, Less, b])) ||
    ( !(a > 0 && b > a && c == a && d > b) &&  !(a > 0 && b > a && c == a && Inequality[c, Less, d, LessEqual, b]) &&
      !(a > 0 && b > a && c == b && d > c) &&  !(a > 0 && b > a && c > b && d > c) &&
      !(a > 0 && b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] && d > b) &&
      !(a > 0 && b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] && Inequality[a, Less, d, LessEqual, b]) &&
      !(a > 0 && b > a && Inequality[a, Less, c, Less, b] && d > b) &&
      !(a > 0 && b > a && Inequality[a, Less, c, Less, b] && Inequality[c, Less, d, LessEqual, b]) && a > 0 &&
     a - b < 0 && a - c <= 0 && b - c > 0 && b - d == 0)}, {((c - d)^2*(-3 + 2*Log[-c + d]))/2,
   a - c == 0 && b - d == 0 && a - b < 0 && c - d < 0 && a > 0 && b - c > 0},
  {(3*b*c - 3*b*d - 3*c*d + 3*d^2 + b^2*Log[b - c] - 2*b*c*Log[b - c] + c^2*Log[b - c] - b^2*Log[b - d] +
     2*b*d*Log[b - d] - d^2*Log[b - d] - c^2*Log[-c + d] + 2*c*d*Log[-c + d] - d^2*Log[-c + d])/2,
    !(a > 0 && b > a && c == a && d > b) &&  !(a > 0 && b > a && c == a && Inequality[c, Less, d, LessEqual, b]) &&
     !(a > 0 && b > a && c == b && d > c) &&  !(a > 0 && b > a && c > b && d > c) &&
     !(a > 0 && b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] && d > b) &&
     !(a > 0 && b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] && Inequality[a, Less, d, LessEqual, b]) &&
     !(a > 0 && b > a && Inequality[a, Less, c, Less, b] && d > b) &&
     !(a > 0 && b > a && Inequality[a, Less, c, Less, b] && Inequality[c, Less, d, LessEqual, b]) && a > 0 &&
    a - b < 0 && c > 0 && a - c > 0 && a - d == 0},
  {(-3*a*c + 3*c^2 + 3*a*d - 3*c*d - a^2*Log[-a + c] + 2*a*c*Log[-a + c] - c^2*Log[-a + c] + a^2*Log[-a + d] -
     2*a*d*Log[-a + d] + d^2*Log[-a + d] - c^2*Log[-c + d] + 2*c*d*Log[-c + d] - d^2*Log[-c + d])/2,
   a > 0 && a - b < 0 && b - c == 0 && c - d < 0 &&  !(a > 0 && b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] &&
      d == a) &&  !(a > 0 && b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] && d == b) &&
     !(a > 0 && b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] && d > b) &&
     !(a > 0 && b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] && Inequality[a, Less, d, Less, b]) &&
     !(a > 0 && b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] && Inequality[c, Less, d, Less, a]) &&
     !(a > 0 && b > a && Inequality[a, LessEqual, c, Less, b] && d == b) &&
     !(a > 0 && b > a && Inequality[a, LessEqual, c, Less, b] && d > b) &&
     !(a > 0 && b > a && Inequality[a, LessEqual, c, Less, b] && Inequality[c, Less, d, Less, b])},
  {(3*b*c - 3*c^2 - 3*b*d + 3*c*d + b^2*Log[b - c] - 2*b*c*Log[b - c] + c^2*Log[b - c] - b^2*Log[b - d] +
     2*b*d*Log[b - d] - d^2*Log[b - d] + c^2*Log[-c + d] - 2*c*d*Log[-c + d] + d^2*Log[-c + d])/2,
   a - c == 0 && a - b < 0 && b - d > 0 && c - d < 0 && a > 0 && b - c > 0},
  {(-3*a*c + 3*a*d + 3*c*d - 3*d^2 - a^2*Log[a - c] + 2*a*c*Log[a - c] - c^2*Log[a - c] + a^2*Log[-a + d] -
     2*a*d*Log[-a + d] + d^2*Log[-a + d] + c^2*Log[-c + d] - 2*c*d*Log[-c + d] + d^2*Log[-c + d])/2,
   b - d == 0 && a - b < 0 && a - d < 0 && a > 0 && a - c > 0 && c > 0},
  {(-3*a*c + 3*a*d + 3*c*d - 3*d^2 - a^2*Log[-a + c] + 2*a*c*Log[-a + c] - c^2*Log[-a + c] + a^2*Log[-a + d] -
     2*a*d*Log[-a + d] + d^2*Log[-a + d] + c^2*Log[-c + d] - 2*c*d*Log[-c + d] + d^2*Log[-c + d])/2,
   b - d == 0 && a - b < 0 && a - c < 0 && c - d < 0 && a > 0 && b - c > 0},
  {(3*b*c - 3*c^2 - 3*b*d + 3*c*d + b^2*Log[b - c] - 2*b*c*Log[b - c] + c^2*Log[b - c] - b^2*Log[-b + d] +
     2*b*d*Log[-b + d] - d^2*Log[-b + d] + c^2*Log[-c + d] - 2*c*d*Log[-c + d] + d^2*Log[-c + d])/2,
   a - c == 0 && a - b < 0 && b - d < 0 && a > 0 && b - c > 0},
  {(3*b^2 - 3*c^2 - 6*b*d + 6*c*d - 2*b^2*Log[-b + d] + 4*b*d*Log[-b + d] - 2*d^2*Log[-b + d] + 2*c^2*Log[-c + d] -
     4*c*d*Log[-c + d] + 2*d^2*Log[-c + d])/4, a > 0 && a - b < 0 && a - c == 0 && b - d < 0 &&
     !(a > 0 && b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] && d == a) &&
     !(a > 0 && b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] && d == b) &&
     !(a > 0 && b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] && d > b) &&
     !(a > 0 && b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] && Inequality[a, Less, d, Less, b]) &&
     !(a > 0 && b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] && Inequality[c, Less, d, Less, a]) &&
     !(a > 0 && b > a && Inequality[a, LessEqual, c, Less, b] && d == b) &&
     !(a > 0 && b > a && Inequality[a, LessEqual, c, Less, b] && d > b) &&
     !(a > 0 && b > a && Inequality[a, LessEqual, c, Less, b] && Inequality[c, Less, d, Less, b])}}, 0]


-- 14.03.2023, 19:41 --

Далее, выполняя команду
Код:
Limit [j, b -> a, Direction -> "FromAbove",
Assumptions -> c < d && a > 0 && c > 0]

мой слабый комп сталкивается с проблемами.

-- 14.03.2023, 19:50 --

Нет проблем с конкретными числовыми значениями, например,
Код:
Integrate[Log[RealAbs[x - y]], {x, 0, 1}, {y, 0, 1}]
-3/2

Integrate[Log[RealAbs[x - y]], {x, 0, 1/100}, {y, 0, 1}]
(-300 + 19602 ArcCoth[199] - Log[100])/20000
N[%]
-0.0103051

 Профиль  
                  
 
 Re: Контурное интегрирование с соприкасающимися контурами
Сообщение15.03.2023, 12:07 


11/07/16
801
Математика 13.2 затрудняется найти предел
Код:
Limit [j, b -> a, Direction -> "FromAbove",
Assumptions -> c < d && a > 0 && c > 0]
, однако находит предел для каждой части кусочного выражения, например,
Код:
Limit[(-3*a*c + 3*b*c + 3*a*d - 3*b*d - a^2*Log[a - c] +
    2*a*c*Log[a - c] - c^2*Log[a - c] + b^2*Log[b - c] -
    2*b*c*Log[b - c] + c^2*Log[b - c] + a^2*Log[a - d] -
    2*a*d*Log[a - d] + d^2*Log[a - d] - b^2*Log[b - d] +
    2*b*d*Log[b - d] - d^2*Log[b - d])/2, b -> a,
Direction -> "FromAbove",
Assumptions ->
  Simplify[! (a > 0 && b > a && c == a && d > b) && ! (a > 0 &&
       b > a && c == a &&
       Inequality[c, Less, d, LessEqual, b]) && ! (a > 0 && b > a &&
       c == b && d > c) && ! (a > 0 && b > a && c > b &&
       d > c) && ! (a > 0 && b > a &&
       Inequality[0, Less, c, Less, a] && d > b) && ! (a > 0 &&
       b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] &&
       Inequality[a, Less, d, LessEqual, b]) && ! (a > 0 && b > a &&
       Inequality[a, Less, c, Less, b] && d > b) && ! (a > 0 &&
       b > a && Inequality[a, Less, c, Less, b] &&
       Inequality[c, Less, d, LessEqual, b]) && a > 0 && a - b < 0 &&
    c > 0 && a - c > 0 && c - d < 0 && a - d > 0]]

0

 Профиль  
                  
 
 Re: Контурное интегрирование с соприкасающимися контурами
Сообщение16.03.2023, 18:38 


11/07/16
801
Также
Код:
Limit[(-3*a*c + 3*b*c + 3*a*d - 3*b*d - a^2*Log[a - c] +
    2*a*c*Log[a - c] - c^2*Log[a - c] + b^2*Log[b - c] -
    2*b*c*Log[b - c] + c^2*Log[b - c] + a^2*Log[a - d] -
    2*a*d*Log[a - d] + d^2*Log[a - d] - b^2*Log[b - d] +
    2*b*d*Log[b - d] - d^2*Log[b - d])/2, d -> c,
Assumptions ->
  Simplify[! (a > 0 && b > a && c == a && d > b) && ! (a > 0 &&
       b > a && c == a &&
       Inequality[c, Less, d, LessEqual, b]) && ! (a > 0 && b > a &&
       c == b && d > c) && ! (a > 0 && b > a && c > b &&
       d > c) && ! (a > 0 && b > a &&
       Inequality[0, Less, c, Less, a] && d > b) && ! (a > 0 &&
       b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] &&
       Inequality[a, Less, d, LessEqual, b]) && ! (a > 0 && b > a &&
       Inequality[a, Less, c, Less, b] && d > b) && ! (a > 0 &&
       b > a && Inequality[a, Less, c, Less, b] &&
       Inequality[c, Less, d, LessEqual, b]) && a > 0 && a - b < 0 &&
    c > 0 && a - c > 0 && c - d < 0 && a - d > 0]]
0

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group