2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Контурное интегрирование с соприкасающимися контурами
Сообщение12.03.2023, 23:19 


24/07/21
71
Москва
Изначально есть интеграл
$$\oint_{C_i}\oint_{C_j}\ln(r)dx_idx_j+\ln(r)dy_idy_j+\ln(r)dz_idz_j,\qquad r=\sqrt{(x_i-x_j)^2+(y_i-y_j)^2+(z_i-z_j)^2}$$
Есть два квадрата, которые соприкасаются одной стороной, скажем, на оси $x$
Тогда получается для этих двух линий
$$\int_a^b\int_c^d\ln\sqrt{(x_i-x_j)^2}dx_idx_j$$
И возникает проблема, поскольку результат интегрирования содержит в себе члены $\ln\left((a-d)^2\right)$ и, если точки $a$ и $d$ совпадают, то возникает неопределённость

Вторым вопросом является то, а как вообще такие интегралы считаются численно? Нужно ли каждый раз специально проверять такие случаи и как-то отдельно их обрабатывать или есть какая-то общая методика?

 Профиль  
                  
 
 Re: Контурное интегрирование с соприкасающимися контурами
Сообщение13.03.2023, 01:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11536
apt в сообщении #1585236 писал(а):
Вторым вопросом является то, а как вообще такие интегралы считаются численно?
Так же, как и любые другие. А какой был первый вопрос?

 Профиль  
                  
 
 Re: Контурное интегрирование с соприкасающимися контурами
Сообщение13.03.2023, 06:15 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
apt в сообщении #1585236 писал(а):
И возникает проблема, поскольку результат интегрирования содержит в себе члены $\ln\left((a-d)^2\right)$ и, если точки $a$ и $d$ совпадают, то возникает неопределённость
Интеграл $\int\limits_0^1\ln x\;dx$ сходится.
Есть члены вида $(a-d)\ln|a-d|$. Это выражение стремится к нулю при $a-d\to 0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Контурное интегрирование с соприкасающимися контурами
Сообщение13.03.2023, 09:47 


24/07/21
71
Москва
Утундрий
svv
Действительно, не ясно выразился
Интеграл
$$
4\int_a^b\int_c^d\ln\sqrt{(x_i-x_j)^2}dx_idx_j=2 a^2 \ln \left[\frac{1}{(a-c)(a-d)}\right]-6 (a-b) (c-d)+c (2 a-c) \ln\left[(a-c)^2\right]+
$$
$$+d (d-2 a) \ln \left[(a-d)^2\right]+2b^2 \ln \left[\frac{b-c}{b-d}\right]+c (c-2 b) \ln\left[(b-c)^2\right]-d (2 b+d) \ln\left[(b-d)^2\right]$$
И он расходится при $d\to a$ или $c\to b$ (я выражение немного упростил, но Maple или Mathematica не могут посчитать предел и у изначального выражения)
Аналитическое вычисление данного интеграла при совпадении двух точек (т.е. когда $a=d$ или $b=c$ или и то и другое) и было первым вопросом
Вторым вопросом является численное вычисление такого интеграла даже если конечные точки не совпадают. Если его считать в лоб, при подстановке некоторых $x_i, x_j$ оказывается ситуация, когда $|x_i-x_j|\to 0$, тогда $\ln\sqrt{(x_i-x_j)^2}\to -\infty$
UPD: линии $ab$ и $cd$ лежат на одной и той же линии

 Профиль  
                  
 
 Re: Контурное интегрирование с соприкасающимися контурами
Сообщение13.03.2023, 12:37 
Аватара пользователя


11/12/16
13195
уездный город Н
apt
Если взять неопределенный интеграл:
apt в сообщении #1585236 писал(а):
$$\int_a^b\int_c^d\ln\sqrt{(x_i-x_j)^2}dx_idx_j$$


И немного упростить логарифмы в результате, то с логарифмами останется только член вида $(x_i-x_j)^2 \ln (x_i - x_j)^2$.
Который стремится к нулю при $x_i \to x_j$

Вам об этом выше писал уважаемый svv, но, видимо, осталось незамеченным.

 Профиль  
                  
 
 Re: Контурное интегрирование с соприкасающимися контурами
Сообщение13.03.2023, 14:51 


24/07/21
71
Москва
EUgeneUS
О том, что есть члены такого вида я прочитал, для чего привёл выражение, чтобы показать, что не все они такие.
Но, действительно, если полученное выражение упростить сразу, а потом уже подставлять пределы, то так и получается, спасибо.
А своё выражение я, видимо, недоупростил

 Профиль  
                  
 
 Re: Контурное интегрирование с соприкасающимися контурами
Сообщение13.03.2023, 14:53 


18/09/21
1676
apt в сообщении #1585236 писал(а):
Вторым вопросом является то, а как вообще такие интегралы считаются численно?
Если есть какие-то "нехорошие" точки, то есть смысл сделать замену переменных (можно кусочно), чтобы везде подинтегральная функция была более-менее регулярной.

 Профиль  
                  
 
 Re: Контурное интегрирование с соприкасающимися контурами
Сообщение14.03.2023, 20:39 


11/07/16
801
Команда Математики 13.2
Код:
j = Integrate[Log[RealAbs[x - y]], {x, a, b}, {y, c, d},  Assumptions -> a < b && c < d && a > 0 && c > 0] // InputForm

производит
Код:
Piecewise[{{(6*b*c - 3*c^2 - 6*b*d + 3*d^2 + 2*b^2*Log[b - c] - 4*b*c*Log[b - c] + 2*c^2*Log[b - c] -
     2*b^2*Log[b - d] + 4*b*d*Log[b - d] - 2*d^2*Log[b - d])/4,
   (a > 0 && a - b < 0 && a - c == 0 && c - d < 0 && b - d >= 0 && a > 0 && a - b < 0 && c > 0 && a - c > 0 &&
     a - d == 0) || ( !(a > 0 && b > a && c == a && d > b) &&
      !(a > 0 && b > a && c == a && Inequality[c, Less, d, LessEqual, b]) &&  !(a > 0 && b > a && c == b && d > c) &&
      !(a > 0 && b > a && c > b && d > c) &&  !(a > 0 && b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] && d > b) &&
      !(a > 0 && b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] && Inequality[a, Less, d, LessEqual, b]) &&
      !(a > 0 && b > a && Inequality[a, Less, c, Less, b] && d > b) &&
      !(a > 0 && b > a && Inequality[a, Less, c, Less, b] && Inequality[c, Less, d, LessEqual, b]) && a > 0 &&
     a - b < 0 && a - c <= 0 && b - c > 0 && c - d < 0 && b - d > 0)},
  {(-3*a*c + 3*b*c + 3*a*d - 3*b*d - a^2*Log[a - c] + 2*a*c*Log[a - c] - c^2*Log[a - c] + b^2*Log[b - c] -
     2*b*c*Log[b - c] + c^2*Log[b - c] + a^2*Log[a - d] - 2*a*d*Log[a - d] + d^2*Log[a - d] - b^2*Log[b - d] +
     2*b*d*Log[b - d] - d^2*Log[b - d])/2,  !(a > 0 && b > a && c == a && d > b) &&
     !(a > 0 && b > a && c == a && Inequality[c, Less, d, LessEqual, b]) &&  !(a > 0 && b > a && c == b && d > c) &&
     !(a > 0 && b > a && c > b && d > c) &&  !(a > 0 && b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] && d > b) &&
     !(a > 0 && b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] && Inequality[a, Less, d, LessEqual, b]) &&
     !(a > 0 && b > a && Inequality[a, Less, c, Less, b] && d > b) &&
     !(a > 0 && b > a && Inequality[a, Less, c, Less, b] && Inequality[c, Less, d, LessEqual, b]) && a > 0 &&
    a - b < 0 && c > 0 && a - c > 0 && c - d < 0 && a - d > 0}, {((a - d)^2*(-3 + 2*Log[-a + d]))/4,
   a > 0 && a - b < 0 && c > 0 && a - c > 0 && a - d < 0 && b - d >= 0 &&
     !(a > 0 && b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] && d == a) &&
     !(a > 0 && b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] && d == b) &&
     !(a > 0 && b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] && d > b) &&
     !(a > 0 && b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] && Inequality[a, Less, d, Less, b]) &&
     !(a > 0 && b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] && Inequality[c, Less, d, Less, a]) &&
     !(a > 0 && b > a && Inequality[a, LessEqual, c, Less, b] && d == b) &&
     !(a > 0 && b > a && Inequality[a, LessEqual, c, Less, b] && d > b) &&
     !(a > 0 && b > a && Inequality[a, LessEqual, c, Less, b] && Inequality[c, Less, d, Less, b])},
  {(-3*a*c + 3*b*c + 3*a*d - 3*b*d - a^2*Log[a - c] + 2*a*c*Log[a - c] - c^2*Log[a - c] + b^2*Log[b - c] -
     2*b*c*Log[b - c] + c^2*Log[b - c] - b^2*Log[b - d] + 2*b*d*Log[b - d] - d^2*Log[b - d] + a^2*Log[-a + d] -
     2*a*d*Log[-a + d] + d^2*Log[-a + d])/2, a - b < 0 && a - d < 0 && b - d > 0 && a > 0 && a - c > 0 && c > 0},
  {(-3*a*c + 3*b*c + 3*a*d - 3*b*d + b^2*Log[b - c] - 2*b*c*Log[b - c] + c^2*Log[b - c] - a^2*Log[-a + c] +
     2*a*c*Log[-a + c] - c^2*Log[-a + c] - b^2*Log[b - d] + 2*b*d*Log[b - d] - d^2*Log[b - d] + a^2*Log[-a + d] -
     2*a*d*Log[-a + d] + d^2*Log[-a + d])/2, a - b < 0 && a - c < 0 && b - d > 0 && c - d < 0 && a > 0 && b - c > 0},
  {(-6*a*c + 3*c^2 + 6*a*d - 3*d^2 - 2*a^2*Log[-a + c] + 4*a*c*Log[-a + c] - 2*c^2*Log[-a + c] + 2*a^2*Log[-a + d] -
     4*a*d*Log[-a + d] + 2*d^2*Log[-a + d])/4, (a > 0 && a - b < 0 && b - c == 0 && c - d < 0 && a > 0 &&
     a - b < 0 && a - c <= 0 && b - c > 0 && b - d == 0) || (a > 0 && a - b < 0 && a - c < 0 && b - c > 0 &&
     c - d < 0 && b - d >= 0 &&  !(a > 0 && b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] && d == a) &&
      !(a > 0 && b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] && d == b) &&
      !(a > 0 && b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] && d > b) &&
      !(a > 0 && b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] && Inequality[a, Less, d, Less, b]) &&
      !(a > 0 && b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] && Inequality[c, Less, d, Less, a]) &&
      !(a > 0 && b > a && Inequality[a, LessEqual, c, Less, b] && d == b) &&
      !(a > 0 && b > a && Inequality[a, LessEqual, c, Less, b] && d > b) &&
      !(a > 0 && b > a && Inequality[a, LessEqual, c, Less, b] && Inequality[c, Less, d, Less, b]))},
  {(3*b^2 - 6*a*c + 3*c^2 + 6*a*d - 6*b*d - 2*a^2*Log[-a + c] + 4*a*c*Log[-a + c] - 2*c^2*Log[-a + c] +
     2*a^2*Log[-a + d] - 4*a*d*Log[-a + d] + 2*d^2*Log[-a + d] - 2*b^2*Log[-b + d] + 4*b*d*Log[-b + d] -
     2*d^2*Log[-b + d])/4, a > 0 && a - b < 0 && a - c < 0 && b - c > 0 && b - d < 0 &&
     !(a > 0 && b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] && d == a) &&
     !(a > 0 && b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] && d == b) &&
     !(a > 0 && b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] && d > b) &&
     !(a > 0 && b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] && Inequality[a, Less, d, Less, b]) &&
     !(a > 0 && b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] && Inequality[c, Less, d, Less, a]) &&
     !(a > 0 && b > a && Inequality[a, LessEqual, c, Less, b] && d == b) &&
     !(a > 0 && b > a && Inequality[a, LessEqual, c, Less, b] && d > b) &&
     !(a > 0 && b > a && Inequality[a, LessEqual, c, Less, b] && Inequality[c, Less, d, Less, b])},
  {(-3*a*c + 3*b*c + 3*a*d - 3*b*d + c^2*Log[(b - c)/(a - c)] + 2*a*c*Log[-a + c] + b^2*Log[-b + c] -
     2*b*c*Log[-b + c] + a^2*Log[(a - d)/(a - c)] - 2*a*d*Log[-a + d] + d^2*Log[-a + d] - b^2*Log[-b + d] +
     2*b*d*Log[-b + d] - d^2*Log[-b + d])/2, a > 0 && a - b < 0 && b - c < 0 && c - d < 0 &&
     !(a > 0 && b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] && d == a) &&
     !(a > 0 && b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] && d == b) &&
     !(a > 0 && b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] && d > b) &&
     !(a > 0 && b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] && Inequality[a, Less, d, Less, b]) &&
     !(a > 0 && b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] && Inequality[c, Less, d, Less, a]) &&
     !(a > 0 && b > a && Inequality[a, LessEqual, c, Less, b] && d == b) &&
     !(a > 0 && b > a && Inequality[a, LessEqual, c, Less, b] && d > b) &&
     !(a > 0 && b > a && Inequality[a, LessEqual, c, Less, b] && Inequality[c, Less, d, Less, b])},
  {(-3*a*c + 3*b*c + 3*a*d - 3*b*d - a^2*Log[a - c] + 2*a*c*Log[a - c] - c^2*Log[a - c] + b^2*Log[b - c] -
     2*b*c*Log[b - c] + c^2*Log[b - c] + a^2*Log[-a + d] - 2*a*d*Log[-a + d] + d^2*Log[-a + d] - b^2*Log[-b + d] +
     2*b*d*Log[-b + d] - d^2*Log[-b + d])/2, a > 0 && a - b < 0 && c > 0 && a - c > 0 && b - d < 0},
  {(-3*a*c + 3*b*c + 3*a*d - 3*b*d + b^2*Log[b - c] - 2*b*c*Log[b - c] + c^2*Log[b - c] - a^2*Log[-a + c] +
     2*a*c*Log[-a + c] - c^2*Log[-a + c] + a^2*Log[-a + d] - 2*a*d*Log[-a + d] + d^2*Log[-a + d] - b^2*Log[-b + d] +
     2*b*d*Log[-b + d] - d^2*Log[-b + d])/2, a - b < 0 && a - c < 0 && b - d < 0 && a > 0 && b - c > 0},
  {((c - d)^2*(-3 + 2*Log[-c + d]))/4, (a > 0 && a - b < 0 && a - c == 0 && c - d < 0 && b - d >= 0 &&
      !(a > 0 && b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] && d == a) &&
      !(a > 0 && b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] && d == b) &&
      !(a > 0 && b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] && d > b) &&
      !(a > 0 && b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] && Inequality[a, Less, d, Less, b]) &&
      !(a > 0 && b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] && Inequality[c, Less, d, Less, a]) &&
      !(a > 0 && b > a && Inequality[a, LessEqual, c, Less, b] && d == b) &&
      !(a > 0 && b > a && Inequality[a, LessEqual, c, Less, b] && d > b) &&
      !(a > 0 && b > a && Inequality[a, LessEqual, c, Less, b] && Inequality[c, Less, d, Less, b])) ||
    ( !(a > 0 && b > a && c == a && d > b) &&  !(a > 0 && b > a && c == a && Inequality[c, Less, d, LessEqual, b]) &&
      !(a > 0 && b > a && c == b && d > c) &&  !(a > 0 && b > a && c > b && d > c) &&
      !(a > 0 && b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] && d > b) &&
      !(a > 0 && b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] && Inequality[a, Less, d, LessEqual, b]) &&
      !(a > 0 && b > a && Inequality[a, Less, c, Less, b] && d > b) &&
      !(a > 0 && b > a && Inequality[a, Less, c, Less, b] && Inequality[c, Less, d, LessEqual, b]) && a > 0 &&
     a - b < 0 && a - c <= 0 && b - c > 0 && b - d == 0)}, {((c - d)^2*(-3 + 2*Log[-c + d]))/2,
   a - c == 0 && b - d == 0 && a - b < 0 && c - d < 0 && a > 0 && b - c > 0},
  {(3*b*c - 3*b*d - 3*c*d + 3*d^2 + b^2*Log[b - c] - 2*b*c*Log[b - c] + c^2*Log[b - c] - b^2*Log[b - d] +
     2*b*d*Log[b - d] - d^2*Log[b - d] - c^2*Log[-c + d] + 2*c*d*Log[-c + d] - d^2*Log[-c + d])/2,
    !(a > 0 && b > a && c == a && d > b) &&  !(a > 0 && b > a && c == a && Inequality[c, Less, d, LessEqual, b]) &&
     !(a > 0 && b > a && c == b && d > c) &&  !(a > 0 && b > a && c > b && d > c) &&
     !(a > 0 && b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] && d > b) &&
     !(a > 0 && b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] && Inequality[a, Less, d, LessEqual, b]) &&
     !(a > 0 && b > a && Inequality[a, Less, c, Less, b] && d > b) &&
     !(a > 0 && b > a && Inequality[a, Less, c, Less, b] && Inequality[c, Less, d, LessEqual, b]) && a > 0 &&
    a - b < 0 && c > 0 && a - c > 0 && a - d == 0},
  {(-3*a*c + 3*c^2 + 3*a*d - 3*c*d - a^2*Log[-a + c] + 2*a*c*Log[-a + c] - c^2*Log[-a + c] + a^2*Log[-a + d] -
     2*a*d*Log[-a + d] + d^2*Log[-a + d] - c^2*Log[-c + d] + 2*c*d*Log[-c + d] - d^2*Log[-c + d])/2,
   a > 0 && a - b < 0 && b - c == 0 && c - d < 0 &&  !(a > 0 && b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] &&
      d == a) &&  !(a > 0 && b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] && d == b) &&
     !(a > 0 && b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] && d > b) &&
     !(a > 0 && b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] && Inequality[a, Less, d, Less, b]) &&
     !(a > 0 && b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] && Inequality[c, Less, d, Less, a]) &&
     !(a > 0 && b > a && Inequality[a, LessEqual, c, Less, b] && d == b) &&
     !(a > 0 && b > a && Inequality[a, LessEqual, c, Less, b] && d > b) &&
     !(a > 0 && b > a && Inequality[a, LessEqual, c, Less, b] && Inequality[c, Less, d, Less, b])},
  {(3*b*c - 3*c^2 - 3*b*d + 3*c*d + b^2*Log[b - c] - 2*b*c*Log[b - c] + c^2*Log[b - c] - b^2*Log[b - d] +
     2*b*d*Log[b - d] - d^2*Log[b - d] + c^2*Log[-c + d] - 2*c*d*Log[-c + d] + d^2*Log[-c + d])/2,
   a - c == 0 && a - b < 0 && b - d > 0 && c - d < 0 && a > 0 && b - c > 0},
  {(-3*a*c + 3*a*d + 3*c*d - 3*d^2 - a^2*Log[a - c] + 2*a*c*Log[a - c] - c^2*Log[a - c] + a^2*Log[-a + d] -
     2*a*d*Log[-a + d] + d^2*Log[-a + d] + c^2*Log[-c + d] - 2*c*d*Log[-c + d] + d^2*Log[-c + d])/2,
   b - d == 0 && a - b < 0 && a - d < 0 && a > 0 && a - c > 0 && c > 0},
  {(-3*a*c + 3*a*d + 3*c*d - 3*d^2 - a^2*Log[-a + c] + 2*a*c*Log[-a + c] - c^2*Log[-a + c] + a^2*Log[-a + d] -
     2*a*d*Log[-a + d] + d^2*Log[-a + d] + c^2*Log[-c + d] - 2*c*d*Log[-c + d] + d^2*Log[-c + d])/2,
   b - d == 0 && a - b < 0 && a - c < 0 && c - d < 0 && a > 0 && b - c > 0},
  {(3*b*c - 3*c^2 - 3*b*d + 3*c*d + b^2*Log[b - c] - 2*b*c*Log[b - c] + c^2*Log[b - c] - b^2*Log[-b + d] +
     2*b*d*Log[-b + d] - d^2*Log[-b + d] + c^2*Log[-c + d] - 2*c*d*Log[-c + d] + d^2*Log[-c + d])/2,
   a - c == 0 && a - b < 0 && b - d < 0 && a > 0 && b - c > 0},
  {(3*b^2 - 3*c^2 - 6*b*d + 6*c*d - 2*b^2*Log[-b + d] + 4*b*d*Log[-b + d] - 2*d^2*Log[-b + d] + 2*c^2*Log[-c + d] -
     4*c*d*Log[-c + d] + 2*d^2*Log[-c + d])/4, a > 0 && a - b < 0 && a - c == 0 && b - d < 0 &&
     !(a > 0 && b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] && d == a) &&
     !(a > 0 && b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] && d == b) &&
     !(a > 0 && b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] && d > b) &&
     !(a > 0 && b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] && Inequality[a, Less, d, Less, b]) &&
     !(a > 0 && b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] && Inequality[c, Less, d, Less, a]) &&
     !(a > 0 && b > a && Inequality[a, LessEqual, c, Less, b] && d == b) &&
     !(a > 0 && b > a && Inequality[a, LessEqual, c, Less, b] && d > b) &&
     !(a > 0 && b > a && Inequality[a, LessEqual, c, Less, b] && Inequality[c, Less, d, Less, b])}}, 0]


-- 14.03.2023, 19:41 --

Далее, выполняя команду
Код:
Limit [j, b -> a, Direction -> "FromAbove",
Assumptions -> c < d && a > 0 && c > 0]

мой слабый комп сталкивается с проблемами.

-- 14.03.2023, 19:50 --

Нет проблем с конкретными числовыми значениями, например,
Код:
Integrate[Log[RealAbs[x - y]], {x, 0, 1}, {y, 0, 1}]
-3/2

Integrate[Log[RealAbs[x - y]], {x, 0, 1/100}, {y, 0, 1}]
(-300 + 19602 ArcCoth[199] - Log[100])/20000
N[%]
-0.0103051

 Профиль  
                  
 
 Re: Контурное интегрирование с соприкасающимися контурами
Сообщение15.03.2023, 12:07 


11/07/16
801
Математика 13.2 затрудняется найти предел
Код:
Limit [j, b -> a, Direction -> "FromAbove",
Assumptions -> c < d && a > 0 && c > 0]
, однако находит предел для каждой части кусочного выражения, например,
Код:
Limit[(-3*a*c + 3*b*c + 3*a*d - 3*b*d - a^2*Log[a - c] +
    2*a*c*Log[a - c] - c^2*Log[a - c] + b^2*Log[b - c] -
    2*b*c*Log[b - c] + c^2*Log[b - c] + a^2*Log[a - d] -
    2*a*d*Log[a - d] + d^2*Log[a - d] - b^2*Log[b - d] +
    2*b*d*Log[b - d] - d^2*Log[b - d])/2, b -> a,
Direction -> "FromAbove",
Assumptions ->
  Simplify[! (a > 0 && b > a && c == a && d > b) && ! (a > 0 &&
       b > a && c == a &&
       Inequality[c, Less, d, LessEqual, b]) && ! (a > 0 && b > a &&
       c == b && d > c) && ! (a > 0 && b > a && c > b &&
       d > c) && ! (a > 0 && b > a &&
       Inequality[0, Less, c, Less, a] && d > b) && ! (a > 0 &&
       b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] &&
       Inequality[a, Less, d, LessEqual, b]) && ! (a > 0 && b > a &&
       Inequality[a, Less, c, Less, b] && d > b) && ! (a > 0 &&
       b > a && Inequality[a, Less, c, Less, b] &&
       Inequality[c, Less, d, LessEqual, b]) && a > 0 && a - b < 0 &&
    c > 0 && a - c > 0 && c - d < 0 && a - d > 0]]

0

 Профиль  
                  
 
 Re: Контурное интегрирование с соприкасающимися контурами
Сообщение16.03.2023, 18:38 


11/07/16
801
Также
Код:
Limit[(-3*a*c + 3*b*c + 3*a*d - 3*b*d - a^2*Log[a - c] +
    2*a*c*Log[a - c] - c^2*Log[a - c] + b^2*Log[b - c] -
    2*b*c*Log[b - c] + c^2*Log[b - c] + a^2*Log[a - d] -
    2*a*d*Log[a - d] + d^2*Log[a - d] - b^2*Log[b - d] +
    2*b*d*Log[b - d] - d^2*Log[b - d])/2, d -> c,
Assumptions ->
  Simplify[! (a > 0 && b > a && c == a && d > b) && ! (a > 0 &&
       b > a && c == a &&
       Inequality[c, Less, d, LessEqual, b]) && ! (a > 0 && b > a &&
       c == b && d > c) && ! (a > 0 && b > a && c > b &&
       d > c) && ! (a > 0 && b > a &&
       Inequality[0, Less, c, Less, a] && d > b) && ! (a > 0 &&
       b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] &&
       Inequality[a, Less, d, LessEqual, b]) && ! (a > 0 && b > a &&
       Inequality[a, Less, c, Less, b] && d > b) && ! (a > 0 &&
       b > a && Inequality[a, Less, c, Less, b] &&
       Inequality[c, Less, d, LessEqual, b]) && a > 0 && a - b < 0 &&
    c > 0 && a - c > 0 && c - d < 0 && a - d > 0]]
0

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Gg322


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group