2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 ARMA модели для нескольких случайных последовательностей
Сообщение07.03.2023, 00:27 
Аватара пользователя


07/03/06
128
Добрый вечер.
Вся литература по ARMA/ARIMA, которую я до сих пор видел, касается аппроксимации одной случайной последовательности (с целью построения прогнозов и т.д.). Существует ли обобщение этого подхода на случай нескольких случайных последовательностей с общим "дискретным временем" и общим пространством случайных событий? В частности, в результате применения такой обобщённой ARMA-модели можно было бы вычислить как автокорреляционные, так и взаимно корреляционные (кросс-кореляционные) функции.
Буду благодарен за литературную ссылку.

 Профиль  
                  
 
 Re: ARMA модели для нескольких случайных последовательностей
Сообщение07.03.2023, 00:45 


27/06/20
337
Добрый!
Lütkepohl H. Forecasting contemporaneously aggregated vector ARMA processes. Journal of Business & Economic Statistics. 1984;2(3):201-14. Полный текст.

 Профиль  
                  
 
 Re: ARMA модели для нескольких случайных последовательностей
Сообщение10.03.2023, 14:19 
Аватара пользователя


07/03/06
128
Спасибо за ссылку! Она сэкономила мне время...
В статье рассматривается векторный ARMA-процесс максимально общего вида. В таком процессе получится очень много параметров, что вероятно оправдано целью исследования: прогнозирование самой случайной вектор-последовательности. Однако у меня стоят другие цели. Мне надо вычислить матожидания и некоторые линейные функционалы от спектральных функций (включая взаимные). Нужна ли мне вообще многомерная ARMA-модель такого общего вида, как описано в статье?

Предположим для простоты, что нам даны две вещественные стационарные случайные последовательности с ограниченным вторым моментом (не обязательно нормальные!): $\{U_t\}$ и $\{V_t\}$ с общим "временем". Можно построить независимым образом аппроксимирующие последовательности $\{\hat U_t\}$ и $\{\hat V_t\}$ из классов $ARMA(p,q)$ и $ARMA(r,s)$ соответственно. Напомню, это значит, что удовлетворяются авторегрессионные уравнения:
$$
\Phi_p(L)(\hat U_t - \mu) = \Theta_q(L)\,\varepsilon_t\, , \qquad
\Omega_r(L)(\hat V_t - \nu) = \Psi_s(L)\,\eta_t\, ,\qquad t\in\mathbb{Z}
$$Получив оценки матожиданий ($\mu, \nu$) и оптимальные коэффициенты всех 4-х полиномов, я могу вычислить оценки для спектральных функций каждой исходной последовательности:
$$
\hat S_u(\omega) = \frac{1}{2\pi}
\left|\frac{\Theta_q(e^{-i\omega})}{\Phi_p(e^{-i\omega})}\right|^2\, , \qquad
\hat S_v(\omega) = \frac{1}{2\pi}
\left|\frac{\Psi_s(e^{-i\omega})}{\Omega_r(e^{-i\omega})}\right|^2\, , \qquad
\omega\in[-\pi, \pi]
$$Мало этого! Есть возможность для вычисления и взаимной спектральной функции:
$$
\hat S_{uv}(\omega) = \frac{1}{2\pi}
\left(\frac{\Theta_q(e^{-i\omega})}{\Phi_p(e^{-i\omega})}\right)
\overline{\left(\frac{\Psi_s(e^{-i\omega})}{\Omega_r(e^{-i\omega})}\right)}\, , \qquad
\omega\in[-\pi, \pi]
$$Эта функция перестанет быть чётной, но останется вещественной ввиду вещественности исходных последовательностей. После всего этого я могу вычислить свои линейные функционалы, получить три числа и быть довольным. Что улучшит обобщённая (векторная) ARMA-модель?

 Профиль  
                  
 
 Re: ARMA модели для нескольких случайных последовательностей
Сообщение10.03.2023, 18:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7295
Есть старая книга - Э.Хеннан "Многомерные временные ряды".

 Профиль  
                  
 
 Re: ARMA модели для нескольких случайных последовательностей
Сообщение13.03.2023, 23:01 
Аватара пользователя


07/03/06
128
Спасибо, книга -- зверь!
На 81-ой странице (гл. II, пункт 5) указано правило расчёта матрицы спектральных плотностей для векторного ARMA-процесса (формула не имеет номера). Эта формула подтверждает указанные мной выше соотношения для $S_u$ и $S_v$ (в случае $\sigma_{\varepsilon} = \sigma_{\eta} = 1$), но опровергает указанное мной соотношение для взаимной спектральной функции $S_{uv}$. Точнее, указанная мной формула верна в случае, если оба одномерных ARMA-процесса порождены единым белым шумом (т.е. $\varepsilon_t = \eta_t$). В случае, если белые шумы независимы в широком смысле, получается, что взаимная корреляция аппроксимирующих случайных последовательностей будет отсутствовать вообще. Для её моделирования нужны ненулевые взаимные авторегрессионные связи в определяющих модель уравнениях, т.е. всё-таки обобщённая ARMA-модель...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Alex Krylov, B@R5uk, Утундрий


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group