Найти поток векторного поля а

[tikho]

Найти поток векторного поля a через часть поверхности S, вырезанную плоскостью Р с помощью формулы Гаусса-Остроградского(нормаль внешняя):
a=(x-y)i+(x+y)j+z^2k ,S:x^2+y^2=1 ,P1:z=0 ,P2:z=2
я подсчитал дивергенцию и получилось что:
П=2\int\int\int(1+z)dxdydz
Дальше я думаю надо расписать

$$1+z, как x^2+y^2+z$$

и решать дальше тройной интеграл в цилиндрической с.к.:

$$\int_0^{2\pi}d(fi)\int_0^{1}rdr\int_0^2(r^2cos^2(fi)+r^2sin^2(fi)+z)dz$$

[ewert]

tikho писал(а):

Найти поток векторного поля a через часть поверхности S, вырезанную плоскостью Р с помощью формулы Гаусса-Остроградского(нормаль внешняя):
a=(x-y)i+(x+y)j+z^2k ,S:x^2+y^2=1 ,P1:z=0 ,P2:z=2
я подсчитал дивергенцию и получилось что:
П=2\int\int\int(1+z)dxdydz

До сих пор верно. А это ещё что такое:

tikho писал(а):

Дальше я думаю надо расписать

$$1+z, как x^2+y^2+z$$

??? ...
Потом снова верно:

tikho писал(а):

и решать дальше тройной интеграл в цилиндрической с.к.:

$$\int_0^{2\pi}d(fi)\int_0^{1}rdr\int_0^2$$

...

-- кроме, конечно,

tikho писал(а):

...

$$(r^2cos^2(fi)+r^2sin^2(fi)+z)dz$$

И не забудьте, что интеграл от дивергенции -- это поток через всю поверхность, а нужна лишь боковая, поэтому надо ещё вычесть потоки через основания (считаемые непосредственно как поверхностные интегралы).

[tikho]

$$2\int_0^{2\pi}d(fi)\int_0^{1}rdr\int_0^2(1+z)dz$$

тогда что ли так....

Цитата:

И не забудьте, что интеграл от дивергенции -- это поток через всю поверхность, а нужна лишь боковая, поэтому надо ещё вычесть потоки через основания (считаемые непосредственно как поверхностные интегралы).

на лекции мы просто сосчитали тройной интеграл и ничего не высетали!

[ewert]

Да, так.

Мало ли что было на лекции, в задании чётко сказано: "... через часть, вырезанную ...", так что придётся всё же "высесть".

-------------------------------------
Да, кстати, нет формальной необходимости переходить к полярным координатам: речь идёт об интеграле вида

$$2\iint_{D_{xy}}dx\,dy\int_0^2(1+z)\,dz$$

, причём подинтегральная функция не зависит от $x$ и от $y$, а внутренние пределы не зависят, в свою очередь, от $z$, поэтому внутренний и внешний интегралы берутся независимо друг от друга. Хотя это, конечно, зависит от того, какая вожжа начальству под хвост попадёт...

[tikho]

ну а верхнее основание x^2+y^2=1 в плоскости z=2 и нижнее основание x^2+y^2=1 в плоскости
z=0,разве не принадлежат поверхности S????

[ewert]

нет, конечно. Поверхность $S$ по условию -- это цилиндр, и только он.

[tikho]

я решил вот посчитать поток с помощью формулы

$$\int_S (a* n)dS$$

и получилось что поток через верхнее основание x^2+y^2=1 в плоскости z=2 потенциац равент

$$\pi3$$

,через нижнее основание x^2+y^2=1 в плоскости z=0 потенциал равен 0,а через боковую поверхность цилиндра потенциал

$$\pi8$$

я прав?????

[ewert]

что ещё за потенциал?...

впрочем, в любом случае нет. Через верхнее основание выйдет четыре пи (через нижнее -- действительно ноль), через боковую -- кажется, два пи.

[tikho]

а да через верхнее 4 пи

Добавлено спустя 2 минуты 27 секунд:

а вот через боковую все же 8 пи

[ewert]

да, вот не зря сомневался, и впрямь восемь пи, только не боковой, а -- полный поток

[tikho]

следовательно и ответ моей задачи будет 8 пи??????Да кстати и решением интеграла$$2\int_0^{2\pi}d(fi)\int_0^{1}rdr\int_0^2(1+z)dz$ $ будет 8 пи...

[ewert]

не решением, а значением. Да, этот интеграл равен восемь пи. Но он даёт полный поток, а не боковой.

[tikho]

так нестыковочка получается,поток через бок. пов цил. 8пи-ответ,а поток по формуле остроградского-гауса тоже 8 пи,но по вашим словам надо еще че-то вычесть,тогда ответы то получатся разные